Суми Рамануджана — тригонометричні суми, залежні від двох цілочислових параметрів і , виду:
де и .
Властивості
Основною властивістю сум Рамануджана є їх мультиплікативність щодо індексу , тобто
якщо .
Суми можна записати через функцію Мебіуса :
Суми Рамануджана обмежені при обмежених або , або . Так, наприклад .
Тригонометричні формули
Застосування сум Рамануджана Багато мультиплікативних функцій від натурального аргументу можуть бути розкладені в ряди по . Вірним є і обернене твердження.
Основні властивості сум дозволяють обчислювати суми вигляду:
де — мультиплікативна функція — ціле число — в загальному випадку, комплексне.
У простому випадку, можна одержати
де — дзета-функція Рімана — сума -х степенів дільників числа .
Такі суми тісно пов'язані з особливими рядами деяких адитивних проблем теорії чисел, наприклад, представлення натуральних чисел у вигляді парного числа квадратів.
Див. також Суми Клоостермана
Література Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213. . Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — : ВИНИТИ, 1960.