Троянда (також крива Гвідо Гранді, або родонія) — плоска крива, яка в полярній системі координат задана рівнянням або , де та  — сталі, які визначають розмір і кількість пелюсток троянди, відповідно.

Назву «rhodonea» кривим дав італійський математик Ґвідо Ґранді за їхню подібність до пелюсток квітів; він вивчав їх у 1723—1728 роках і описав у своїй праці «Flores geometrici» (1728).

Троянди є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння В полярній системі координат криву описують рівнянням у такому вигляді:

Тут і  — сталі, що визначають розмір (a) і кількість пелюсток (k) даної троянди; числа та  — взаємно прості, тобто НСД {p;q} = 1.

При цьому, початок координат  — полюс, багатократна вузлова точка, а одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі .

Рівняння троянди в полярній системі координат можна записати також через функцію синуса на сайті MathWorld:

Зокрема, . Отож троянда, задана рівнянням , є ідентичною до кривої, заданої рівнянням , але повернутою відносно полюса проти годинникової стрілки на кут радіан, що становить чверть періоду синусоїди.Водночас одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі . Рівняння троянди в декартовій системі координат у параметричному виді є таким:

Троянда, задана полярним рівнянням , може бути подана в декартовій системі координат таким рівнянням:

Це рівняння буде раціональним (а крива алгебричною), якщо числа та  — обидва непарні. В цьому випадку степінь рівняння, а отже, і порядок кривої дорівнює .Якщо одне з чисел або є парним, то рівняння буде раціональним тільки після підведення обох його частин до квадрату. В цьому випадку степінь рівняння, а отже і порядок кривої, дорівнює .

Метричні характеристики Нехай троянда задана в полярній системі координат рівнянням або , де  — натуральне число. Тоді: Довжина дуги однієї пелюстки троянди: , де  — повний еліптичний інтеграл другого роду.

Також: на сайті Mathcurve.com

Площа области, що обмежена трояндою:Rose curve на сайті Wolframalpha.com

За парних троянда має пелюсток, а за непарних кількість пелюсток дорівнює ; отже, площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди, дорівнює .

Властивості й особливості форми

Вся крива розташовується всередині кола радіуса і в разі складається з однакових за формою та розміром пелюсток. Якщо  — раціональне число (зокрема і натуральне), то троянда є алгебричною кривою порядку , якщо числа та  — обидва непарні; та порядку , якщо одне з них — парне. Кількість різних троянд одного й того ж порядку у випадку, коли кратне чотирьом, дорівнює значенню функції , що визначає кількість простих чисел, менших за .Якщо ділиться лише на 2, то кількість троянд порядку дорівнює . Зокрема, кількість троянд 4-го порядку дорівнює ; кількість троянд 6-го порядку дорівнює

Пелюстки Кількість пелюсток троянди залежить від значення модуля :  — натуральне число Якщо  — натуральне число, то троянда має пелюсток, якщо непарне, і пелюсток — якщо парне. Пелюстки не перекривають одна одну; початок координат (полюс) є вузловою точкою, відповідно -го або -го порядку.

Окремі випадки Чотирипелюсткова троянда (квадрифолій)

або Троянда з модулем ; має пелюстки, вершини яких є вершинами квадрата. Має центр симетрії. В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- і синус варіанти, відповідно):

та . Трипелюсткова троянда (трифолій) або Троянда з модулем ; має пелюстки, вершини яких є вершинами рівностороннього трикутника. В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти, відповідно):

та

8-пелюсткова троянда (октофолій) або Троянда з модулем ; має пелюсток, вершини яких є вершинами правильного восьмикутника. Має центр симетрії. В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти, відповідно):

and

5-пелюсткова троянда (пентафолій) або Троянда з модулем ; має пелюсток, вершини яких є вершинами правильного п'ятикутника. В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти, відповідно):

та . 12-пелюсткова троянда (додекафолій) або Троянда з модулем ; має пелюсток, вершини яких є вершинами правильного 12-кутника. Має центр симетрії. В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти, відповідно):

та

 — раціональне число Якщо  — нескоротний дріб, де і взаємно прості, кількість пелюсток троянди рівне , якщо обидва числа непарні, і , якщо хоча б одне з них парне.Пелюстки частково перекривають одна одну. Якщо непарне, а парне, то троянди та повністю збігаються.

Окремі випадки Пелюстка Дюрера або Троянда з модулем . Названа на честь німецького художника і гравера Альбрехта Дюрера.Троянди, задані рівняннями в косинус- чи синус варіанті, повністю збігаються, незважаючи на те, що . Рівняння кривої в декартовій системі координат таке:

Пелюстка Дюрера є трисектрисою, тобто може бути використана для трисекції кутів.

Равлик Паскаля (трисектриса) Троянда

з модулем є равликом Паскаля . Криві, задані цими рівняннями, повністю ідентичні, однак не збігаються в системі координат.Крива має одну пелюстку з двома петлями.

Крива є трисектрисою, тобто може використовуватись для трисекції кутів.

 — ірраціональне число Якщо ірраціональне, пелюсток нескінченно багато; крива не є алгебричною, незамкнена і щільно заповнює круг радіусом і центром в початку координат.

Симетрія Троянда, що задана полярним рівнянням при  — раціональне число, симетрична відносно осі . Також: Якщо  — парне натуральне число, то крива має осей симетрії ;Полюс є центром симетрії троянди. Якщо та непарні (зокрема,  — непарне натуральне число), то крива має осей симетрії , що проходять через вершину кожної пелюстки. Центру симетрії не має. Якщо та різної парности, то троянда має осей симетрії: — осей з рівнянням , що проходять через протилежні вершини пелюсток; — осей з рівнянням , які не проходять через вершини пелюсток. Полюс є центром симетрії троянди.

Кінематичне та механічне утворення троянд

При значеннях троянда є гіпотрохоїдою, а при  — епітрохоїдою.

Троянда є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює , радіус твірного (рухомого) кола дорівнює , а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює .

Також троянди є подерами епі- та гіпоциклоїд відносно центра їх нерухомого кола.

Нехай два рівних відрізка та довжиною обертаються навколо точок та зі швидкостями, відношення яких дорівнює . Тоді траєкторією точки буде троянда. Нехай два радіуси та деякого кола обертаються навколо точки зі швидкостями, відношення яких дорівнює . Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки на є троянда. Якщо деяка точка здійснює гармонічні коливання вздовж прямої, що обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої точки — центра коливань, то траекторією цієї точки буде троянда.

Див. також Трипелюсткова троянда Чотирипелюсткова троянда

Примітки

Література

Посилання

Roses (curves) Encyclopedia of Mathematics, 2014. Ferréol Robert, ROSE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017 MacTutor History of Mathematics Archive. «Rhodonea Curves.» Xah Lee. Rose Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com. Аплет для створення троянд з параметром k