Гіпотрохоїда — плоска крива, утворена фіксованою точкою, що лежить в площині деякого кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.
Рухоме коло називають твірним (його радіус дорівнює r), нерухоме коло — напрямним (його радіус дорівнює R).
Початковою точкою гіпотрохоїди називають таку її точку , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від , що і точка опори.
Вершиною гіпотрохоїди називають таку її точку , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від .
Будь-яка гіпотрохоїда має однакову кількість вершин і початкових точок.
Гіпотрохоїда є окремим випадком рулети — кривої, що отримана як траєкторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.
Граничні випадки гіпотрохоїди: Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності (), крива стає трохоїдою з тим же радіусом твірного кола. Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченності (), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою в площині цієї прямої, є подовженою або скороченою евольвентою кола.
Рівняння
Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює , радіус кола, що котиться по ньому дорівнює , а відстань від твірної точки до центру рухомого кола дорівнює , то гіпотрохоїда описується параметричними рівняннями в прямокутній системі відносно :
При цьому початкова точка гіпотрохоїди, з якої починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі .
Кут — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі .
Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат гіпотрохоїди має вигляд:
При цьому гіпотрохоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпотрохоїди (з якої починається утворення кривої) з початком координат, та віссю дорівнює .
Ввівши величину , отримаємо параметричне рівняння звичайної (неповернутої) гіпотрохоїди у вигляді:
де — радіус нерухомого кола, — радіус кола, що котиться, — відстань від твірної точки до центра рухомого кола.
Величина визначає форму гіпотрохоїди (див. нижче).
Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:Hypotrochoid на сайті Mathcurve
.
де кут ; радіус твірного (рухомого) кола ; радіус напрямного (нерухомого) кола ; відстань від твірної точки до центра рухомого кола .
Властивості та особливості форми Будь-яка гіпотрохоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами та . На першому з них лежать вершини, а на другому — початкові точки гіпотрохоїди. При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) на кут, кратний , гіпотрохоїда суміщається сама з собою. Якщо — натуральне число, то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою порядку; Крива складається з конгруентних гілок, а отже, має вершин та початкових точок.
При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить повних обертів навколо свого центру. Якщо — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою порядку; Крива складається з конгруентних гілок, а отже, має вершин та початкових точок.
При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить повних обертів навколо свого центру.
Якщо — ірраціональне число, то гіпотрохоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість гілок, вершин та каспів. При необмеженому збільшенні параметра , крива щільно заповнює кільце, обмежене колами з радіусами та . Гіпотрохоїда має однакову кількість вершин та каспів; Гіпотрохоїду з параметрами можна отримати так само як гіпотрохоїду з параметрами. . У випадку, коли , крива є епітрохоїдою з параметрами .
Заувага: Гіпотрохоїда, яка при одному способі утворення, була подовженою, при іншому способі утворення виявляється скороченою (і навпаки).
Властивість нормалі Нормаль, що проведена через будь-яку точку гіпотрохоїди, проходить через відповідну точку дотику твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Метричні характеристики Довжина дуги гіпотрохоїди між точками, що відповідають кутам :
Ця дуга по довжині дорівнює довжині еліпса
між точками з тими ж значеннями кута .
Інтеграл в загальному випадку не виражається через елементарні функції, але у випадках, коли гіпотрохоїда є гіпоциклоїдою, його можна виразити в елементарних функціях.
Також довжину дуги гіпотрохоїди від її початку до точки, що відповідає параметру можна обчислити за формулою:Hypotrochoid на сайті Mathworld Wolfram
де — еліптичний інтеграл другого роду.
Площа сектора, що описується полярним радіусом гіпотрохоїди, коли точка пробігає по дузі між точками, що відповідають кутам :
Тут площа розглядається як спрямована величина, тобто приймається, що в тих проміжках зміни параметра , де полярний радіус обертається у від'ємному напрямку, він описує від'ємну площу.
Радіус кривини будь-якої гіпотрохоїди в деякій її точці , що відповідає куту :
Окремі випадки Окремими випадками гіпотрохоїди є: Гіпоциклоїда (коли точка, що її утворює, лежить на самому твірному колі, тобто при ); Еліпс з центром в початку координат (при параметрах ).
Напіввісі цього еліпса дорівнюють: ; кінцями великої осі є початкові точки гіпотрохоїди, кінцями малої осі — її вершини.
Ексцентриситет цього еліпса:
Якщо за сталих та , що пов'язані співвідношенням , різниця прямує до нуля, то мала вісь еліпса необмежено зменшується, а велика наближається до діаметра напрямного кола. Звичайна гіпоциклоїда, що утворюється в граничному випадку (), являє собою відрізок прямої, а саме той діаметр напрямного кола, що з'єднує початкові точки. Троянда з індексом (при ).
Початок координат є вузловою точкою.
Рівняння кривої в полярних координатах має вигляд:
Цікаві факти Логотип Adobe Acrobat являє собою дещо деформовану гіпотрохоїду.
Див. також Рулета Трохоїда Епітрохоїда Спірограф — дитяча іграшка, яка дозволяє малювати гіпотрохоїди.
Примітки
Література
Посилання
Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Гіпотрохоїда на сайті [Mathcurve] , 2017