Гіпоциклоїда

Гіпоцикло́їда (від  — під, внизу і  — круг, коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.

Якщо радіус рухомого кола більший за радіус нерухомого кола, то в цьому випадку гіпоциклоїду називають перициклоїдою. Будь-яка перициклоїда з параметрами еквівалентна епіциклоїді з параметрами .

Початковою точкою гіпоциклоїди називають таку її точку , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від , що і точка опори.

Початкові точки є каспами (простими точками звороту) гіпоциклоїди. Початкові точки гіпоциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною гіпоциклоїди називають таку її точку , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від .

Будь-яка гіпоциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Гіпоциклоїда є окремим випадком гіпотрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Окремими випадками гіпоциклоїди є дельтоїда (гіпоциклоїда з трьома каспами) та астроїда (гіпоциклоїда з чотирма каспами).

Граничні випадки гіпоциклоїди: Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченности (), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола. Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности (), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює , а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює , то гіпоциклоїда описується параметричними рівняннями відносно :

При цьому початкова точка гіпоциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі .

Кут  — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі .

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат гіпоциклоїди має вигляд:

При цьому гіпоциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпоциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю дорівнює .

Ввівши величину , отримаємо параметричне рівняння звичайної (неповернутої) гіпоциклоїди у вигляді:

де  — радіус нерухомого кола,  — радіус кола, що котиться. Величина визначає форму гіпоциклоїди (див. нижче). При гіпоциклоїда є діаметром нерухомого кола, при є Астроїдою.

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:Hypocycloid на сайті Mathcurve

.

де кут ; радіус твірного (рухомого) кола ; радіус напрямного (нерухомого) кола .

для гіпоциклоїди має вигляд:

де ,  — радіус кривини гіпоциклоїди в певній точці;  — довжина дуги гіпоциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість гіпоциклоїди:

Якщо дуга гіпоциклоїди котиться без ковзання по прямій , то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої , через яку прокочується вершина гіпоциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою і по довжині дорівнює половині арки гіпоциклоїди, а саме: .

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: .

Властивості та особливості форми Будь-яка гіпоциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами та . На першому з них лежать вершини, а на другому — каспи гіпоциклоїди. При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) на кут, кратний , гіпоциклоїда суміщається сама з собою. Якщо  — натуральне число, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою порядку; Крива складається з конгруентних арок, а отже, має вершин та каспів (тобто точок звороту). Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить повних обертів навколо свого центру. Якщо  — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою порядку; Крива складається з конгруентних арок, а отже, має вершин та каспів. Крива має точок самоперетину, якщо та p i q — взаємопрості числа.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить повних обертів навколо свого центру.

Якщо  — ірраціональне число, то гіпоциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів. Гіпоциклоїда має однакову кількість вершин та каспів; Будь-яка гіпоциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл та за формою тотожна з гіпоциклоїдою з радіусами нерухомого та рухомого кіл та . Відмінність полягає у розмірі твірного кола, а отже і верхньому значенні параметра , при якому крива замикається. Властивість нормалі та дотичної Нормаль, що проведена через будь-яку точку гіпоциклоїди, проходить через відповідну точку дотику твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл. Дотична до гіпоциклоїди в деякій її точці , проходить через точку напрямного кола, діаметрально протилежну до точки .

Метричні характеристики Довжина дуги гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам :

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки гіпоциклоїди дорівнює:

Якщо  — натуральне число, то довжина однієї арки:

а довжина всієї гіпоциклоїди:

Площа сектора гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам :

Площа сектора, що описується полярним радіусом гіпоциклоїди, коли точка пробігає одну її арку:

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: .

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою гіпоциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

Якщо  — натуральне число, то площа сектора, що відповідає одній арці гіпоциклоїди, дорівнює

а фігури, що обмежена повною гіпоциклоїдою:

Це означає, що фігура, обмежена гіпоциклоїдою в разів менша за площею, від площі напрямного круга.

Радіус кривини будь-якої гіпоциклоїди в деякій її точці , що відповідає куту :

Цю формулу можна записати у вигляді:

де  — відрізок, що сполучає точку гіпоциклоїди і точку опори твірного кола.

В точках звороту гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює В вершинах гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює Гіпоциклоїда та її еволюта подібні.Hypocycloid Evolute — from Wolfram MathWorld

Відношення подібності складає Еволюта має той же центр, що і початкова гіпоциклоїда. Каспи еволюти збігаються з вершинами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану гіпоциклоїду на кут , а потім відповідно маштабувавши її.

Приклади гіпоциклоїд

Див. також Рулета Циклоїда Епіциклоїда Гіпотрохоїда Список періодичних функцій

Примітки

Література

Посилання

Гіпоциклоїда на Javascript Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids