Відстань Гаусдорфа — відстань, визначена на всіх замкнених обмежених підмножинах метричного простору. Таким чином, відстань Гаусдорфа перетворює множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору в метричний простір.
Мабуть, перша згадка цієї відстані міститься в книзі Гаусдорфа «Теорія множин», перше видання 1914 року. Двома роками пізніше, та ж відстань описується в книзі Бляшке «Коло і куля», можливо незалежно, тому що не містить посилання на книгу Гаусдорфа.
Означення
Нехай і дві замкнені обмежені підмножини метричного простору тоді відстань за Гаусдорфом, , між та є найменше число таке, що замкнутий -окіл містить і також замкнутий -окіл містить .
Іншими словами, якщо позначає відстань між точками та в , то
Властивості Нехай позначає множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору з відстанню Гаусдорфа: Топологія простору повністю визначається топологією . (Теорема Бляшке) компактна тоді і тільки тоді, коли компактний . повна тоді і тільки тоді, коли повний.
Варіації і узагальнення Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх замкнутих підмножин метричного простору, в цьому випадку відстань між деякими підмножинами може дорівнювати нескінченності. Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх підмножин метричного простору. У цьому випадку вона є тільки псевдовідстанню і не є відстанню, так як «відстань» між різними підмножинами може дорівнювати нулю. В евклідовій геометрії, часто застосовується відстань Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Нехай та — дві компактні підмножини евклідового простору, тоді визначається як мінімум за всіма рухами евклідового простору . Строго кажучи, це відстань на просторі класів конгруентності компактних підмножин евклідового простору. Відстань Громова — Гаусдорфа аналогічна відстані Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Вона перетворює множину (ізометричних класів) компактних метричних просторів у метричний простір.
Примітки
Бляшке, Круг и шар, М.: Наука, 1967 Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» . — 2001. — Выпуск 9. Хаусдорф «Теория множеств»