Опукла функція, або опукла вниз функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності
Нехай область визначення опуклої функції лежить в скінченновимірному просторі, тоді неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.
Властивості опуклих функцій Нехай — будь-які точки із області визначення опуклої функції , — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють . Тоді .
Якщо — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.
Сильно опукла функція Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.
Диференційовна функція називається сильно опуклою з параметром якщо для всіх точок в її домені зберігається наступна нерівність:
або більш загально,
де будь-яка норма.
Операції, що зберігають опуклість Якщо і є опуклими функціями, тоді і також опуклі. Якщо і є опуклими функціями і є неспадною, тоді є опуклою. Наприклад, якщо є опуклою, тоді , також опукла, тому що є опуклою і монотонно висхідною. Якщо є угнутою і є опуклою і невисхідною, тоді є опуклою. Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо є опуклою із областю визначення , тоді також опукла, де з областю визначення . Якщо є опуклою по тоді є опуклою по x, якщо для якогось , навіть якщо C не є опуклою множиною. Якщо є опуклою, тоді її перспектива (чия область визначення — ) є опуклою. Протилежна до опуклої функції функція є угнутою. Якщо є опуклою дійснозначимою функцією, тоді для зліченного набору дійсних чисел
Див. також Увігнута функція Точка перегину Опукла множина Задача опуклого програмування Квазіопукла функція Субдиференціал Опуклий аналіз
Примітки
Джерела
Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. М., т. 1, ст. 198.