Локон Аньєзі (також верзієра Аньєзі , кубіка Аньєзі, дзвоноподібна крива Коші Ferréol Robert , Witch of Agnesi, на сайті Mathcurve, 2019 ) — плоска алгебрична раціональна крива третього порядку, що визначається двома діаметрально протилежними точками кола.
Означення Нехай дано коло діаметром з опорною точкою в початку координат. Січна (дотична до кола ) перетинає це коло в точці . Проведено прямі та . Геометричне місце точок перетину цих прямих є локоном Аньєзі.
Також, локон Аньєзі — геометричне місце точок , для яких виконується співвідношення
де — діаметр кола; — напівхорда цього кола, перпендикулярна до .
Свою назву "локон Аньєзі" крива отримала на честь італійської математикині Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.
Лінія четвертого порядку, що складається з локона Аньєзі та прямої, що збігається з віссю абсцис, є одним з випадків кривих, під назвою яйце Гренвіля
Рівняння Нехай твірне коло локона Аньєзі має точку опори , в початку координат. Діаметрально протилежна точка кола лежить на осі , тобто діаметр твірного кола дорівнює . Тоді локон Аньєзі має наступні рівняння: У декартовій системі координат: . або ж: .
При рівняння кривої матиме вигляд: . Ця крива є графіком похідної функції арктангенса.
Параметричне рівняння в декартовій системі координат : ,
де параметр — кут між і ; точці відповідає значення .
Раціональна параметризація для кривої має вигляд:
У полярній системі координат рівняння локону досить складне; щоб його знайти, треба розв'язати кубічне рівняння:
Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.
Властивості Локон Аньєзі — алгебрична раціональна крива третього порядку. Згідно класифікації Ньютона кривих третього порядку, локон Аньєзі є гіперболізмом кола та має нескінченно віддалену ізольовану точку на осі .
Діаметр єдина вісь симетрії кривої. Вісь (дотична до твірного кола в його точці опори) — асимптота локона Аньєзі. Крива має один максимум — і дві точки перегину, що відповідають параметричним кутам та мають координати : та . Точки перегину лежать на прямих
Кути та між дотичними в точках перегину та та додатнім напрямом осі можна визначити за формулами:
Для побудови дотичних та достатньо відкласти відрізок на продовженні діаметра (у випадку представлених вище рівнянь кривої — точка знаходиться на осі та має координати ).
В околі вершини локон наближається до кола діаметром . У точці відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці : . Центр кривини кривої в точці збігається з центром твірного кола.
Площа під графіком (між кривою і асимптотою): . Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій числовій прямій , і дорівнює площі визначального круга, помноженій на 4. Центр мас фігури, що обмежена кривою та її асимптотою лежить на осі симетріі, на відстані від асимптоти, . (у випадку представлених вище рівнянь кривої — центр мас знаходиться на осі та має координати ).
Найбільший за площею прямокутник, який можна вписати між кривою та її асимптотою, має висоту, що дорівнює радіусу визначального кола, і ширину, що дорівнює подвоєному діаметру кола. Його площа: . Об'єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо своєї асимптоти (осі ): . . Цей об'єм вдвічі більший за об'єм тора, утвореного при обертанні визначального кола локона Аньєзі навколо цієї ж прямої. Об'єм тіла, утвореного при обертанні локона Аньєзі навколо осі симетрії (в нашому випадку навколо осі ) має нескінченне значення.
Побудова
Будуємо коло діаметром і через нижню точку кола О проводимо дотичну Ox. Через верхню точку кола A (діаметрально протилежну до О) проводимо пряму, паралельну до Ох. Через точку О проводимо січну OL, яка перетинає коло в точці C і верхню пряму в точці L. Через точку C проводимо пряму, паралельну до Ох, а через L проводимо пряму, паралельну до діаметра ОA. Ці дві прямі перетинаються в точці M, яка належить локону Аньєзі.
Споріднені криві та деякі узагальнення Коли точка окреслює локон Аньєзі (див. означення локона Аньєзі вище), то точка, що знаходиться в середині відрізка окреслить криву . Цю криву називають візієрою Пеано або супровідною цисоїди
Параметричні рівняння цієї кривої: . де — діаметр твірного кола локона Аньєзі (також і візієри Пеано); ' Візієра має ізольовану точку та асимптоту
Візієра має один максимум в точці та дві точки перегину, що мають координати : .
Площа, що міститься між візієрою та її асимптотою дорівнює .
Побудова Пряма , що проходить через початок координат, перетинає коло в точці , а пряму — в точці . Через проєкцію точки на вісь проведено пряму, що паралельна до . Точка її перетину з перпендикуляром із на належить візієрі .
В колі з центром та радіусом проведено хорду . Кут між та дорівнює . Змінна пряма , що проведена через , перетинає коло в точці , і в точці дотичну до кола в його точці . На прямій відкладаємо відрізок , що дорівнює ( в тому ж напрямі). Точка окреслює криву ,
яку називають косою візієрою (за вісь прийнято пряму ; початок координат знаходиться в точці ).
Подвійна точка є або вузловою, або точкою звороту, або ізольованою, в залежності від співвідношення .
Особливий фокус кривої знаходиться в центрі кола . А окремому випадку, при , крива є цисоїдою.
Псевдоверзієра (також псевдо-локон) . — крива, що утворюється шляхом подвоєння ординат локона Аньєзі.
Означення Нехай з точки проведено перпендикуляр на змінну пряму (точка — початок координат). З точки їх перетину проведено пряму , що перетинає вісь в точці . Із точки перетину прямих та проведено пряму . Геометричне місце точок перетину прямих та є псевдоверзієрою. Її рівняння у декартовій системі координат : . або ж: .
Цю криву досліджував Дж. Грегорі в 1658 і використовував Готфрід Лейбніц у 1674 році, виводячи вираз:
Узагальненням локона Аньєзі можуть бути криві: Аньєзіана — пряма (див. означення локона Аньєзі) займає довільне положення, та перпендикулярна до .
Означення Пряма , що проходить через початок координат , перетинає коло та пряму в точках та відповідно. Точка перетину прямих та , що паралельні до осей координат та відповідно, окреслює криву . яку називають аньєзіаною.
У випадку , крива є локоном Аньєзі; а у випадку — псевдо-локоном.
Агвінея Ньютона — не тільки пряма , а ще й полюс займає довільне положення.
Використання Зокрема, Локон Аньєзі використовується у вигині злітних рамп у авіаносців.
Див. також Крива Кубика Розподіл Коші
Примітки
Література
Посилання
Witch of Agnesi by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project. The Witch of Agnesi - Mathforum.org Java applet Witch of Agnesi Encyclopedia of Mathematics. Ferréol Robert , WITCH OF AGNESI, на сайті MATHCURVE.COM, 2019 MacTutor History of Mathematics Archive. "Witch of Agnesi." Xah Lee. Witch of Agnesi