У математиці, квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми . Графіком квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі . При вершина параболи опиняється в точці .
Нулі функції
Нулі квадратичної функції
це значення x такі, що f(x) = 0.
Коли коефіцієнти a, b і c, — дійсні чи комплексні, тоді корені
де дискримінант визначений як
Властивості
Загальні властивості Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма. При функція не є парною і не є непарною. При квадратична функція - парна. Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення. Функція має єдину критичну точку . Область зміни функції: при - безліч значень функції ; при - безліч значень функції .
Вершина У загальному випадку вершина параболи лежить в точці . Якщо , То гілки параболи спрямовані вгору, якщо , То гілки параболи спрямовані вниз.
Екстремуми і перегини Якщо , то в точці функція має мінімум. При функція монотонно спадає, при монотонно зростає. Якщо , то в точці функція має максимум. При функція монотонно зростає, при монотонно спадає. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою і ординатою називається вершиною параболи.
Графік Графік квадратичної функції перетинається з віссю в точці . У випадку, якщо , графік квадратичної функції перетинає вісь в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці ; якщо , перетину з віссю немає. З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої - образу осі ординат при паралельному перенесенні . Графік функції (або ) може бути отриманий з графіка функції наступними перетвореннями : паралельним перенесенням ; стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів; паралельним перенесенням .
Похідна .
Первісна
Див. також Квадратичне програмування
Примітки
Посилання