Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в є узагальненням поняття довжини кривої.
Означення Нехай . Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції на відрізку називається наступна величина:
тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка довжин ламаних у , кінці яких відповідають значенням у точках розбиття.
Пов'язані означення Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається або просто . У такому випадку визначена функція , що називається функцією повної варіації для . Додатна варіація дійснозначної функції на відрізку називається наступна величина:
Аналогічно означається від'ємна варіація функції:
Таким чином повна варіація функції може бути представлена у вигляді суми
Властивості функцій обмеженої варіації Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу ), якщо модуль знаменника на відрізку буде більше, ніж позитивна стала. Якщо , а , то . Якщо функція неперервна в точці справа і належить , то . Функція , задана на відрізку , є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на функції (розклад Жордана). Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду. Функція обмеженої варіації може бути представлена у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега). Всі ці властивості були встановлені Жорданом.
Обчислення варіації
Варіація неперервно диференційовної функції Якщо функція належить до класу , тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку , то — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:
тобто рівна інтегралу норми похідної.
Історія Функції обмеженої варіації вивчалися К. ЖорданомJordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230..
Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є -періодичних функцій класу збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різноманітних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.
Узагальнення Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.
У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції: варіація Фреше, плоска варіація Тонеллі.
Φ-варіація функції
Властивості Якщо розглядати дві функції і такі, що
то для їх -варіацій справедливе відношення:
Зокрема,
при .
Див. також Варіаційне числення Інтеграл Стілтьєса
Література
Примітки