Теорема Ліувілля — ключова теорема гамільтонової механіки і класичної статистичної фізики. Згідно з нею, функція розподілу (густина ймовірності) гамільтонової системи залишається сталою вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі, тобто, довільна область фазового простору зберігатиме свій об'єм при еволюції гамільтонової системи.

Об'єм області в фазовому просторі визначається, як

Еволюція системи задається рівняннями гамільтонової механіки. Тоді будь-яка довільно вибрана область в фазовому просторі буде змінюватися й деформуватися з часом, але згідно з теоремою Ліувілля зберігатиме свій об'єм.

Ця теорема має важливе значення для статистичної фізики.

Рівняння Ліувілля Рівняння Ліувілля описує часову еволюцію функції розподілу у фазовому просторі. Хоча це рівняння названо іменем Ліувілля, фактично його вперше опублікував Джозая Віллард Ґіббс 1902 року (Глава 1. Общие понятия. Принцип сохранения фазового объема.). Але оскільки його виведення для неканонічних систем базується на тотожності, виведеній Ліувіллем у 1838 році, то його названо іменем Ліувілля.

Розглянемо гамільтонову дінамічну систему з канонічними координатами та спряженими імпульсами , де i = 1, …, n. Тоді функція розподілу визначає ймовірність того, що система знаходиться у нескінченно малому об'ємі фазового простору. Тоді рівняння Ліувілля визначатиме еволюцію функції розподілу у момент часу t:

Часові похідні, що позначені крапками, визначаються з рівнянь Гамільтона. Отже, отримане рівняння демонструє збереження густини у фазовому просторі. Теорема Ліувілля стверджує, що: Функція розподілу залишається постійною вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі. Простим доказом теореми слугує той факт, що функція розподілу задовольняє рівняння неперервності:

причому член,

якщо використати рівняння Гамільтона, тотожно дорівнює нулю ( — функція Гамільтона).

Наслідком теореми Ліувілля є рівняння для функції густини станів у фазовому просторі.

Незмінність об'єму довільної області в фазовому просторі означає те, що незмінною залишається ймовірність знайти систему в цьому об'ємі ,

де береться так звана повна похідна.

Однак сама область деформується й міняє форму. Якщо ж цікавитися фіксованим об'ємом, то з плином часу одні траєкторії входитимуть у нього, інші — виходитимуть. Баланс цих траєкторій призводить до рівняння Ліувілля ,

де H — функція Гамільтона, а {.,.} позначає дужку Пуассона.

Виноски

Джерела , 516 с.