Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле, то розподіл показує суму k незалежних експоненційно розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.
Означення
Нехай розподіл випадкової величини задається щільністю ймовірності, яка має вигляд де функція має вигляд і має наступні властивості:
константи . Тоді кажуть, що випадкова величина має гамма-розподіл з параметрами і . Пишуть .
Зауваження. Деколи використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.
Моменти
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини , яка має гамма-розподіл, мають вигляд , .
Властивості гамма-розподілу
Якщо — незалежні випадкові величини, такі що , то . Якщо , і — довільна константа, то . Гамма-розподіл нескінченно ділимий.
Зв'язок з іншими розподілами
Експоненційний розподіл є окремим випадком гамма-розподілу: . Якщо — незалежні експоненційні випадкові величини, такі що , то . Розподіл хі-квадрат є окремим випадком гамма-розподілу: . Зокрема, якщо , то і . Згідно з центральною граничною теоремою, при великих гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом: при . Якщо — незалежні випадкові величини такі, що , то .
Моделювання гамма-величин Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.
Використовуючи той факт, що розподіл збігається з експоненційним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то .
Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :
де Ui — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.
Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом вибірки з відхиленням Нехай m дорівнює 1. Згенеруємо и — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1]. Якщо , де , перейти до кроку 4, інакше до кроку 5. Покладемо . Перейти до кроку 6. Покладемо . Якщо , то залишити m на одиницю и вернутися до кроку 2. Прийняти за реалізацію .
Таким чином :
де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); Ui and Vl розподілені як вказано вище і попарно незалежні.
Гамма-розподіл втрат в страхуванні
Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненційно розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр k набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга Gliffy Public Diagram. .
Випадкова величина Y має гамма-розподіл з параметрами λ > 0 і α > 0, якщо
де Γ — гамма-функція,
Середнє значення для випадкової величини, що має гамма-розподіл дорівнює
При x → ∞ щільність гамма-розподілу спадає швидше, ніж щільність розподілу Парето, але повільніше, ніж експоненційна щільність. Це означає, що для однакового розміру збитку імовірність його виникнення при гамма-розподілі більше, ніж при експоненційному розподілі, але менше, ніж при розподілі Парето. При α > 1 гамма-розподіл відповідає ситуації, коли позови в основному згруповані навколо деякого значення, а невеликі позови можливі, але малоімовірніАктуарні розрахунки : навчальний посібник / О. В. Козьменко, О. В. Кузьменко. — Суми: Університетська книга, 2011. — 224 с. — ISBN 978-966-680-588-4..
Джерела
Примітки