Нескінче́нність (символ: ) — категорія людського мислення, яку використовують для характеристики безмежних, невичерпних предметів і явищ, для яких є неможливим вказання меж або кількісної міри. Її використовують на противагу скінченному, обчислюваному, такому, що має межу.
Термін нескінче́нність може описувати декілька різних понять, залежно від області застосування, будь це математика, фізика, філософія, теологія чи повсякденне життя.
У фізиці та космології залишається відкритим питання, чи є Всесвіт просторово нескінченним.
Нескінченність в культурі та філософії
Античність Питання нескінченності хвилювало грецьких філософів ще до Сократа. Вони розглядали нескінченність як у сенсі нескінченно великого (безмежного простору, вічного часу) так і нескінченно малого.
Анаксімандр ввів поняття апейрону (, «безкінечне, безмежне») для позначення джерела всього що існує.
Піфагорейці загалом з підозрою ставилися до концепту нескінченності, проте один з них, Архіт Тарентський першим (з відомих нам) філософів доводив що простір є нескінченним. Він використовував наступний уявний експеримент: припустимо, світ десь закінчується і ми стоїмо на його межі. Тоді, якщо ми спробуємо випростати руку або палку за межі всесвіту, то нам або це вдасться, що означатиме що простір існує і там, або ж щось не дасть нам цього зробити — а отже за межею знаходиться якась матерія. З того що у простора немає меж він робив висновок що простір нескінченний (наразі відомо що ці концепції не є ідентичними — замкнений простір може не мати меж, але бути скінченним за об'ємом)Infinity.
Зенон Зенон Елейський зробив значний вклад в розуміння нескінченності. Він сформулював кілька апорій, уявних експериментів що застосовували концепцію нескінченної подільності до звичайних речей, таких як рух, простір, час — і показав що при цьому виникають парадоксиA (very) brief history of infinity .
1. Парадокс множинності: будь-який набір речей містить деяку визначену кількість речей. Але якщо існують дві речі, то між ними можна розмістити ще одну (інакше вони не могли б вважатися двома різними речами). І це можна продовжувати до нескінченності. А отже існує лише одна річZeno's Paradoxes.
З цього парадоксу можна зробити висновок що Зенон вважав що не може існувати нескінченної кількості речей, бо у такому наборі кількість буде невизначеною.
Цей парадокс може бути вирішений за допомогою теорії множин і концепції дійсних чисел, які з'явилися лише у 19 столітті, але у часи Зенона поняття про зліченні та незліченні множини не існувало.
2. Парадокс нескінченного розміру: будь-який об'єкт містить частину його попереду і позаду. Кожна з цих частин має розмір і товщину. Кожна з цих частин так само можна розділити на частини, які також будуть мати розмір і товщину. Таким чином, повторивши таку ментальну операцію нескінченну кількість разів, ми отримаємо нескінченну кількість частин, кожна з яких має розмір. Але тіло складається з суми всіх цих частин, а отже воно має нескінченно великий розмір.
Цей парадокс можна трактувати двома способами. Якщо частини, про які йдеться, це половина, чверть, одна восьма і т. д. тіла, то парадокс вирішується тим що сума нескінченного ряду 1/2 + 1/4 + 1/8 + … збігається до одиниці. Проте ознаки збіжності рядів були встановлені лише у 19 столітті Огюстеном Коші.
Якщо ж кожна частина ділиться (тобто тіло розглядається як дві половинки, чотири чверті, вісім восьмих і далі до нескінченності), то в результаті буде отримана нескінченна кількість однакових частин. Якщо такі частини мали б розмір, то їх сума дійсно була б нескінченною. Проте, в такій побудові виникає багато додаткових факторів, які треба врахувати: Уявімо що після першого поділу ми взяли задню частину тіла, передню частину цієї частини, потім передню частину передньої частини й так до нескінченності (якщо тіло — відрізок [0, 1], то йдеться про послідовність [0, 1/2], [1/4, 1/2], [3/8, 1/2], …..). Ця послідовність буде збігатися до однієї точки, яка знаходиться рівно посередині тіла. Але якщо ми візьмемо передню половину тіла, задню частину від неї, задню частину задньої частини й далі до нескінченності ([1/2, 1], [1/2, 3/4], [1/2, 5/8], …..) — цей ряд так само зійдеться до точки в центрі тіла. Тобто, деякі частини тепер перетинаються. З іншого боку, якщо при поділі не включати, наприклад, правий кінець відрізку у «частину», але в такому випадку ряд [0, 1/2), [1/4, 1/2), [3/8, 1/2)…. зійдеться до порожньої множини, тобто, не буде містити жодної точки. В будь-якому випадку, будь-який ланцюжок сходиться або до порожньої множини або до рівно однієї точки. Проте точка не має розміру. При цьому виникає інша проблема, як сумуючи елементи нульового розміру отримати ненульову суму — адже 0+0+0+… = 0, а отже всі тіла не мають розміру взагалі (схожа проблема була описана Арістотелем, проте ймовірно вона також походить від Зенона)? При поділі N разів утворюється 2N частин. Але згідно з теоремою Кантора, якщо N — зліченна нескінченність, то 2N є більшою за N, відповідно кількість частин які утворяться після нескінченної (але зліченної) кількості поділів буде незліченною. Таким чином, їх суму неможливо порахувати як суму ряду (оскільки ряд містить зліченну кількість елементів). З цієї причини, якщо ми будемо вважати що найменші частини не мають розміру, ми не можемо припустити що їх сума 0+0+0+…=0. Довжина відрізка взагалі не залежить від кількості точок у ньому — відрізки будь-якої довжини, в тому числі нескінченні містять однакову кількість точок, тому логіка складання цілого з суми тут перестає діяти взагалі. 3. Ахіллес і черепаха — Ахіллес не може наздогнати черепаху, бо як тільки він добігає до того місця де була черепаха, вона встигає втекти трохи вперед. Загалом логіка цього парадоксу також зводиться до суми нескінченного ряду як і попереднього. Важливим доповненням є те, що у ньому явно присутній ще один елемент: момент коли Ахіллес таки наздогнав черепаху, який має слідувати за всіма «проміжними» етапами. Тобто, це ряд 1/2, 1/4, 1/8, …, A. У часи Зенона такі конструкції викликали багато заперечень, адже за визначенням нескінченний ряд не має кінця — як тоді щось може відбуватися після нього. Лише в кінці 19 століття Кантором було визначення поняття трансфінітного числа, яке дозволяє такі операції.
4. Дихотомія: щоб пройти якусь відстань, треба пройти її половину, щоб пройти половину треба пройти її чверть і так далі. Отже щоб пройти будь-яку відстань треба виконати нескінченне число дій, а отже рух неможливий. Математично цей парадокс еквівалентний попередньому. Важливий крок для розуміння їх зробив Арістотель, звернувши увагу на те, що час який потрібен для подолання все менших відстаней також зменшується (цей хід думок здається очевидним, але для давніх греків математичне розуміння руху як відношення пройденої відстані до часу для греків не було тривіальним).
5. Стріла: нехай стріла пролітає деяку відстань впродовж деякого часу. Розділимо час її польоту на такі відрізки, що їх неможливо поділити сильніше. Протягом кожного такого відрізка стріла нерухома (якби вона рухалася хоч на нескінченно малу відстань, у такого відрізка часу був би початок і кінець, і його можна було б розділити ще). Отже, вона є нерухомою впродовж усього польоту.
В принципі, цей парадокс не є проблемою як такий — можна прийняти, що стріла дійсно є нерухомою в кожен момент польоту, і «перестрибує» з одного положення в інше — але тоді не є зрозумілим, що саме відрізняє об'єкти що рухаються від нерухомих: якщо стріла пролітає повз стрілу що лежить на землі, що змушує лише одну стрілу в наступний момент змінювати положення, якщо обидві вони «в моменті» нерухомі. У середні віки ця різниця пояснювалася імпетусом, деякою внутрішньою властивістю тіла, проте природа імпетуса не була зрозумілоюARE THERE REALLY INSTANTANEOUS VELOCITIES?. Спеціальна теорія відносності, що з'явилася у 20 столітті, дає краще розуміння цієї різниці — наприклад, тіло що рухається буде мати лоренцеве скорочення, яке буде існувати в кожен момент часуZenoís Paradoxes: A Timely Solution.
Загалом зенонівські парадокси про рух викликали багато суперечок, адже дуже спокусливо було спростовувати їх простою демонстрацією руху (за легендою, саме це зробив Діоген під час дискусії), проте це не є насправді розв'язанням парадоксу — адже, якщо він призводить до неправильних висновків, це означає що у ланцюжку роздумів має бути помилка і її можна вказати, а не лише продемонструвати помилковість висновків.
Таким чином, можна бачити що тільки через дві тисячі років після Зенона з'явилися математичні інструменти, які дозволяли вирішити його парадокси.
Потенційна й актуальна нескінченність Арістотель у спробі розв'язати зенонові парадокси розробив теорію потенційної і актуальної нескінченності. Він постулював, що говорячи про нескінченність, ми зазвичай маємо на увазі що якусь величину можна нарощувати до нескінченності, тобто, яким би не було значення, завжди є наступне за ним. Така величина називається потенційно нескінченною. Наприклад, другий постулат Евкліда говорить не про нескінченність довжини прямої лінії, а лише те, що «пряму можна безперервно продовжувати».
З іншого боку, актуальна нескінченність — виникала б якби якась величина існувала у всій нескінченній повноті. Сам Арістотель і більшість античних філософів та математиків визнавали, як правило, тільки потенційну нескінченність, рішуче відкидаючи можливість оперувати з актуально нескінченними атрибутамиАристотель про нескінченність. Наприклад, при лічбі ми не маємо обмежень, і за будь-яким числом лежить більше, проте рахуючи, ми ніколи не дійдемо до «числа нескінченність».
Арістотель писав:
… Завжди можна вигадати більше число, тому що кількість частин, на які можна розділити відрізок, не має меж. Тому нескінченність потенціальна, ніколи не дійсна; яке б число поділів не задали, завжди потенційно можна поділити на більше число.Фізика III, 6.
Відповідно до цієї доктрини формулювалися наукові твердження. Наприклад, теорема про нескінченність множини простих чисел в античних математиків формулювалася так: «Яке б не було просте число P, існує просте число, більше, ніж P».
Арістотель окремо розглядає нескінченно великі речі («більші за Всесвіт») і нескінченно малі, як от відрізки що отримуються після нескінченної кількості поділів. У випадку нескінченних поділів ця аргументація викликає більше питань, адже розділивши відрізок на рід 1/2+1/4+1/8 +… , усі ці відрізки вже існують в цілому відрізку. Для підтримки своєї теорії для таких типів нескінченності Арістотель стверджував, що не можна говорити про нескінченно малі частини, які виникають в парадоксах Зенона, оскільки для цього потрібно було б «фіксувати» кожен поділ (наприклад, в парадоксі Дихотомія атлет мав би зупинятися після половини, чверті, однієї восьмої і т. д. шляху або робити якісь помітки по дорозі). Таким чином, він не визнавав, що «цілий» шлях і шлях, поділений, хай і лише ментально, на деякі відрізки є одним і тим самим шляхом.
За Арістотелем, подібні погляди, що отримали назву фінітизм, були розповсюдженими і в середньовіччі, аж до 19 століття. На користь фінітизму висловлювалися Тома Аквінський, Томас Гоббс, Джон Лок, Гаусс.
Середньовічна схоластика У середньовіччі поняття про нескінченність було тісно пов'язане з Богом. З одного боку, неможливість нескінченності була фундаментом доказу існування Бога. Найбільш відомими є зібрані Томою Аквінським: кожен рух викликаний якимось поштовхом, іншим рухом, кожна подія має свою причину. Оскільки цей ланцюжок не може бути нескінченним, повинен існувати якийсь першорушій, якась першопричина яка не має причини, і ця причина — Бог. Також, кожна якість не може наростати нескінченно, і повинна існувати сутність, яка найбільш ідеальна в усіх відношеннях. Ця сутність, знов таки, Бог.