Відображення Енона (англ. Hénon map) є дискретною в часі динамічною системою. Це один з найбільш вивчених прикладів динамічних систем, які проявляють хаотичну поведінку. Відображення Енона займає точку (xn, yn) в площині і зіставляє його до нової точки
Відображення залежить від двох параметрів, a та b, які для класичного відображення Енона мають значення a = 1,4 та b = 0,3. Для класичних значень відображення Енона є хаотичним. При інших значеннях a та b відображення може бути хаотичним, з перервами чи сходитися до періодичної орбіти. Огляд типу поведінки відображення при різних значеннях параметрів можуть бути отримані зі схеми його орбіти.
Відображення було введене Мішелем Еноном як спрощена модель перетину Пуанкаре моделі Лоренца. Для класичного відображення, початкова точка площини повинна наближатися до набору точок, відомих як дивний атрактор Енона, або прямувати до нескінченності. Атрактор Енона є фракталом, гладким в одному напрямку, а в наборі Кантора іншим. Чисельні оцінки кореляції в околі 1,25 ± 0,02 і в розмірності Гаусдорфа 1,261 ± 0,003 для атрактора класичного відображення.
Атрактор
Відображення Енона відображує дві точки самі в себе: це інваріантні точки. Для класичних значень a та b відображення Енона, одна з цих точок знаходиться на атракторі:
Ця точка нестійка. Значення близькі до цієї нерухомої точки і вздовж нахилу 1,924 буде наближати нерухому точку і точки вздовж нахилу -0,156 будуть відходи від фіксованої точки. Ці схили виникають з лінеаризацією сталого різноманіття і нестійкого різноманіття нерухомої точки. Нестійке різноманіття нерухомої точки в атракторі міститься в дивному атракторі відображення Енона.
Відображення Енона не має дивного атрактора для всіх значеннях параметрів a та b. Наприклад, зберігаючи b фікссованим на 0,3 діаграма біфуркації показує, що при a = 1,25 відображення Енона має стабільну періодичну орбіту як атрактора.
Цвітановіч та ніші показали, як структуру дивного атрактора Енона можна зрозуміти з точки зору нестійких періодичних орбіт в межах атрактора.
Декомпозиція Відображення Енона може бути розкладене на площі, що зберігає вигин: , скорочення в напрямку x: , і відображення в прямій y = x: .
Властивості Спочатку цей процес виглядає випадковим розміщенням точок на графіку. Тільки після нанесення великої кількості значень проявиться шаблон. Продовжуючи ітерації, точок стає так багато, що вони формують суцільні лінії. Якщо почати збільшувати сформовані лінії, то можна побачити, що окремі лінії складаються з інших ліній. Цю характеристику називають "самоподібністю", вона і є особливістю багатьох фракталів. Дана властивість вимагає виконання нескінченної кількості ітерацій, в інакше рано чи пізно лінії поступово розпадуться на окремі точки.
Параметри a та b Можна змінити значення для a і b, таким чином створивши атрактори, які будуть відрізнятися від оригінального зображення.
Доцільно вносити незначні зміни у невеликому околі значень a та b, бо фрактал має бути схожим на атрактор Енона.
Нижче наведені приклади інших атракторів Енона з різними значеннями a та b.
Див. також Підкова Смейла Атрактор Пликіна
Примітки
Джерела
. Reprinted in: Chaos and Fractals, A Computer Graphical Journey: Ten Year Compilation of Advanced Research (Ed. C. A. Pickover). Amsterdam, Netherlands: Elsevier, pp. 69–71, 1998
Посилання Interactive Henon map and Henon attractor in Chaotic Maps Another interactive iteration of the Henon Map by A. Luhn Orbit Diagram of the Hénon Map by C. Pellicer-Lostao and R. Lopez-Ruiz after work by Ed Pegg Jr, The Wolfram Demonstrations Project. Matlab code for the Hénon Map by M.Suzen Simulation of Hénon map in javascript (experiences.math.cnrs.fr) by Marc Monticelli.