Мультиіндекс (або мульти-індекс) — узагальнення поняття цілочислового індексу до векторного індексу, яке використовується в різноманітних галузях математики, пов'язаних з функціями багатьох змінних. Використання мультиіндексу дозволяє спростити (записати у коротшій формі) математичні формули.
Математичний запис мультиіндексу n-вимірний мультиіндекс — це вектор
складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів і вектора вводяться:
Покомпоненне додавання і віднімання
Часткова впорядкованість
Абсолютне значення як сума компонент
Факторіал
Біноміальний коефіцієнт
Піднесення до степеня
Старша частинна похідна де
Застосування Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:
Мультиноміальні коефіцієнти Узагальнення бінома Ньютона на багатовимірний випадок:
Правило Лейбніца Для гладких функцій f і g
Розклад в ряд Тейлора Для аналітичної функції f від n змінних справедливий розклад
Для достатньо гладких функцій виконується формула Тейлора
де останній член (залишок) може бути записаний в різних формах. Наприклад, в (інтегральній) формі Коші
Оператор диференціювання Формальний оператор взяття частинної похідної N-го порядку в n-вимірному просторі записується наступним чином:
Інтегрування частинами Для достатньо гладких функцій в обмеженій області справедлива формула
Ця формула використовується при означенні узагальнених функцій.
Посилання http://mathworld.wolfram.com/Multi-IndexNotation.html