Підне́сення до сте́пеня — бінарна операція, записується як для основи степеня та показника степеня в результаті застосування отримується степінь.
Якщо n — натуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:
Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню: .
Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом, четвертий — біквадратом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 71 = 7*.
Історія Поняття степеня використовувалося давньогрецьким математиком Евклідом для дослідження квадрату прямої. Архімед відкрив і довів закон для степенів — 10a 10b = 10a+b, необхідний, щоб оперувати степенями числа 10For further analysis see The Sand Reckoner.. У IX столітті перський математик Аль-Хорезмі використовував терміни мал для квадрата і кахб для куба, які згодом ісламські математики представляли у вигляді математичної нотації як m і k, відповідно, як видно із роботи до XV століття.
У кінці XVI століття Йост Бургі для степенів використовував римські літериCajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 .
На початку XVII століття першу форму сучасного позначення степеня запропонував Рене Декарт у своїй праці під назвою La Géométrie; у книзі I і було введено відповідні позначенняRené Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. From page 299: " … Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; … " (… and aa, or a2, in order to multiply a by itself; and a3, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; …).
Деякі математики (наприклад, Ісаак Ньютон) використовували експоненти лише для степенів, що більші за двійку, для позначення квадрату вони віддавали перевагу використовувати множення із повторенням. Таким чином вони б записали поліноми, наприклад, як ax + bxx + cx3 + d.
використовував форму показникового запису в XV столітті, яку згодом використали і Міхаель Штифель у XVI столітті. Слово «експонента» виникло в 1544 році завдяки Міхаелю ШтифелюДив.: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg («Norimberga»), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), page 236. Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він увів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: «Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.» (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший — 1, 1ʓ — 2, і т. д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степеню залежному від його розташування, який [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисним, здебільшого, при множенні та діленні, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у Крістофа Рудольффа, який, у свою чергу, запозичив їх у книзі Леонардо Фібоначчі Liber Abaci (1202), де вони використовувались, як скорочення латинських слів res/radix (x), census/zensus (x2), and cubus (x3).]. У XVI столітті Роберт Рекорд використовував терміни квадрат, куб, дзензизензик (четвертий степінь), сурсолід (п'ятий), дзензікуб (шостий), другий сурсолід (сьомий), і дзензизензензик (восьмий). Також для назви 4-го степеня використовували слово біквадрат.
Інший синонім, що існував в історії, інволюціяЦе визначення «інволюції» з'явилось у другому виданні OED, 1989, і в онлайн словнику Merriam-Webster . Останнє використання в цьому сенсі, наведене OED, починається з 1806 року., зараз вживають рідко і його не варто плутати із більш загальним значенням цього слова.
У 1748 році Леонард Ейлер написав:...розглянемо експоненти або степені, в яких сама експонента (показник) є змінною. Очевидно, що величини такого типу не є алгебраїчними функціями, оскільки в них показних мав би бути константоюЛеонард Ейлер (1748) , англ. видання, сторінка 75.Із цим введенням у трансцендентні функції, Ейлер заклав початок сучасному введенню в натуральний логарифм, що є оберненою функцією для y = ex.
Для цілих показників
Нульовий показник При піднесені до степеня 0 будь-якого ненульового числа результатом буде 1:
одне з пояснень —
Однією з інтерпретацій для пояснення такого випадку є уявлення про порожній добуток.
Більш спірним випадком є випадок 00 — нуль у нульовому степені.
Від'ємні показники Наведене нижче рівняння є справедливим для будь-якого довільного цілого числа n і не нульового x:
Піднесення числа 0 до від'ємного показника степеня вважають або не визначеним, або визначеним як нескінченність .
Приведена вище рівність може бути доведена з визначення, якщо продовжити значення показника у від'ємну область цілих чисел.
Для не нульових значень x і додатних n рекурентна рівність записана зверху може бути представлена як
Із визначення, що це рівняння є правдивим для всіх цілих чисел n і ненульових x, випливає, що
і в більш загальній формі для будь-якого ненульового x і будь-яких невід'ємних цілих n,
Видно, що це є вірним для всіх цілих чисел n.
Комбінаторна інтерпретація Для невід'ємних цілих n і m степінь nm є числом функцій із множини з m елементів у множину з n елементів (див. кардинальне експонування). Така функція може бути представлена як m-кортежів із множини n-елементів (або слово із m-літер, що належить алфавіту, в якому є n-літер).
| 05 = │ { } │ = 0 | Не існує 5-елементного кортежу, який можна було б побудувати із пустої множини. |- | 14 = │ { (1,1,1,1) } │ = 1 | Існує один 4-елементний кортеж із множини з одного елемента. |- | 23 = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8 | Існує вісім 3-елементних кортежів із множини з двох елементів. |- | 32 = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9 | Існує дев'ять 2-елементних кортежів із множини з трьох елементів. |- | 41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4 | Існує чотири 1-елементні кортежі із множини з чотирьох елементів. |- | 50 = │ { () } │ = 1 | Існує лише один 0-кортеж.
Тотожності і властивості Наступні тотожності виконуються для всіх цілих показників, за умови що основа не є нулем:
Операція піднесення до степеня не є комутативною. Як протилежність — операції додавання і множення комутативні.
Наприклад,
і ,
але , оскільки .
Операція піднесення до степеня також не є асоціативною.
Приводячи приклад із додаванням і множенням, які є асоціативними, маємо:
і
,
але 23 на 4 дорівнює 84 або , в той час як 2 на 34 дорівнює 281 або .
Без дужок, які задають порядок дій, загальноприйнятим є порядок зверху вниз (тобто з асоціативністю справа наліво), а не знизу вгору (з асоціативністю зліва направо):
Google і WolframAlpha у своїх додатках слідують вищезгаданому правилу, але варто зазначити, що деякі комп'ютерні програми, як-от Microsoft Excel і MATLAB, виконують операції зліва (зверху вниз), тобто a^b^c розраховується як (a^b)^c.
Окремі значення основ
Степені десятки
У десятковій системі числення цілі степені числа 10 записуються у вигляді цифри 1, за якою слідує ряд нулів, що визначаються знаком і величиною показника. Наприклад, і .
Степені із основою 10 використовуються в науці як експоненційний запис для позначення дуже великих або дуже малих чисел. Наприклад, (швидкість світла у вакуумі в метрах на секунду) можна записати так: , а потім апроксимовано до .
Префікси одиниць вимірювання теж основані на степенях числа 10 і використовуються для описання малих чи великих чисел. Наприклад, префікс кіло- означає , тому кілометр становить .
Степені двійки Перші від'ємні степені двійки вживаються дуже часто і мають особливі назви, такі як: половина і чверть.
Степені числа 2 з'являються в теорії множин, оскільки множина з n елементів має булеан, множина з усіх її підмножин, який має 2n елементів.
Цілі степені двійки важливі у комп'ютерній науці. Додатні цілі степені 2n задають максимальну можливу кількість значень для n-бітного цілого двійкового числа; наприклад, байт може приймати 28 = 256 різних значень. Двійкова система числення дає змогу представляти будь-яке число як суму степенів 2: його можна записати як послідовність цифр 0 і 1, розділених двійковою крапкою, де 1 означає ті степені двійки, які мають з'являтися в сумі; показник степеня визначається номером позиції цієї 1: невід'ємні показники впорядковані одиницями зліва від точки (починаючи з 0), а від'ємні показники визначаються порядком в правій частині після коми.
Степені одиниці Усі степені одиниці також дорівнюють одиниці: .
Степені нуля Якщо показник степеня є додатним числом, степінь нуля буде дорівнювати нулю: , де .
Якщо показник степеня є від'ємним, степінь нуля (0n, де ) є невизначеною, оскільки було виконано ділення на нуль.
Якщо показник дорівнює нулю, в деяких випадках визначають це як , в той час як в інших варіантах залишають значення невизначеним.
Степені мінус одиниці Якщо n є парним цілим, тоді .
Якщо n є непарним цілим числом, тоді .
Завдяки цій особливості, степені числа −1 зручно використовувати для вираження змінних послідовностей.
Великі степені Границя числової послідовності степенів числа більшого за одиницю розходяться; іншими словами, послідовність зростає без обмеження: при якщо
Це читається як «b у степені n прямує до +∞ при n, що прямує до нескінченності коли b є більшою за одиницю».
Степені чисел із абсолютним значенням, що менше одиниці прямують до нуля: при якщо |b| < 1
Будь-який степінь одиниці, як уже зазначалося завжди дорівнює одиниці: для всіх n якщо
Степені числа –1 чергують значення 1 і –1 при тому n змінюється будучи то парним то непарним числом, і таким чином не прямує ні до якої границі при збільшенні n.
Якщо b < –1, , чергується між все більшими додатними і від'ємними числами при тому як n чергується між парними і непарними значеннями, і таким чином не прямує до жодної границі при зростанні n.
Якщо значення числа, що підноситься до степеня, змінюється при тому як прямує до 1 при показникові степеня що прямує до нескінченності, тоді існування границі і її значення не обов'язково підпадає у один випадків, що описано вище. Одним із важливих часткових випадків є при
Степеневі функції
Функції дійсних значень вигляду із називають степеневими функціями. Коли є цілим числом і , існує дві основні різновидності: для парних і непарних . В загальному випадку для , якщо є парним числом із збільшенням буде прямувати до нескінченності із знаком плюс, а також у напрямку нескінченності із знаком плюс при зменшенні . Всі графіки із родини парних степеневих функцій мають загальну форму для , маючи більш плоску форму в середині із збільшенням . Функції із таким видом симетрії називаються парними функціями.
Коли є парним, має асимптотичну поведінку яка змінюється від додатних до від'ємних . Для , також прямуватиме до нескінченності зі знаком плюс при збільшенні , але при зменшенні прямуватиме до нескінченності із знаком мінус. Усі графіки для сімейства парних степеневих функцій мають загальний вигляд для , маючи більш плоску гладку форму в середині зі збільшенням і втрачають усю гладкість, перетворюючись у пряму лінію для . Функції з таким видом симетрії називаються непарними функціями.
Для , асимптотична поведінка із протилежними знаками зберігається в усіх випадках.
Список степенів цілих чисел