Квадратна матриця з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто
(у фізичній нотації: ).
Це еквівалентно до системи рівнянь для елементів матриці
Властивості Ермітова матриця є частковим випадком нормальної матриці. Діагональні елементи ермітової матриці є дійсними числами. Визначник ермітової матриці — дійсне число. Власні значення ермітової матриці є дійсними числами. Обернена матриця до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею. Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею. Добуток ермітових матриць A і B є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли вони є переставними ( ). Матриця ермітова оператора в ермітовому просторі відносно будь-якого ортонормального базису є ермітовою. Жорданова форма ермітової матриці діагональна.
Часткові випадки Частковими випадками ермітових матриць є: додатньоозначені матриці — у них всі власні значення додатні; невід'ємноозначені матриці — у них всі власні значення невід'ємні; від'ємноозначені матриці — у них всі власні значення від'ємні.
Зв'язок з комплексними числами Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:
де: — ермітові матриці, — антиермітова матриця.
Також справедливо, що матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці переставні:
Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.
Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то: ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел; антиермітові — чисто уявних комплексних чисел; і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатних, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.
Приклад — ермітова матриця тому, що
або
Див. також Теорія матриць Нормальна матриця Додатноозначена матриця Ермітова нормальна форма Відношення Релея
Джерела