Квадратна матриця з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:
Розклад матриці за допомогою власних векторів Матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця та діагональна матриця , що виконується:
Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць та справедливі такі властивості: — елементи на головній діагоналі є власними значеннями матриці Стовпці матриці є власними векторами матриці розташовані відповідно до своїх власних значень.
Властивості Якщо — нормальна матриця, то в матриць власні вектори будуть однаковими, а власні значення — комплексно-спряженими:
Для довільної квадратної матриці існує полярний розклад . Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними:
Довільну квадратну матрицю можна представити через дві ермітові матриці . Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці будуть переставними:
Нормальні матриці є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:
ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.
Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці є нормальними та переставними, тоді матриці: — теж будуть нормальними та переставними.
Часткові випадки Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.
Зв'язок з комплексними числами Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комплексних чисел, то в такому випадку: унітарні матриці є аналогом комплексних чисел рівних по модулю одиниці, ермітові матриці є аналогом дійсних чисел, додатноозначені матриці є аналогом додатних чисел, антиермітові матриці — аналогом чисто уявних чисел.
Приклади Матриця є нормальною, оскільки
Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.
Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.
Див. також Теорія матриць Комутатор (математика)
Джерела