Квадратна матриця з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

де — невід'ємноозначені матриці, — унітарна матриця.

Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними (що рівнозначно до ).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

Знаходження модуля Оскільки:

матриці однозначно визначаються як:

Якщо матриця — нормальна, то за визначенням.

Знаходження повороту Використавши отримаємо

Використавши знову ж отримаємо

Полярний розклад нормальної матриці Якщо матриця — нормальна, тоді матриці — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

де — унітарна матриця, — невід'ємноозначена діагональна матриця, — унітарна діагональна матриця. Тоді — власний розклад матриці.

Джерела