Пра́вила Кірхгофа визначають метод розрахунку складних розгалужених електричних кіл. Методику розрахунку вперше описав 1845 року німецький фізик Густав Кірхгоф. Правила Кірхгофа є основоположними в електротехніці, тому в рамках цієї дисципліни їх називають законами Кірхгофа.

Перше правило Кірхгофа

Перше правило встановлює зв'язок між сумою сил струмів, спрямованих до вузла електричного кола (додатні струми), і сумою сил струмів, спрямованих від вузла (від'ємні струми). Згідно з цим законом алгебрична сума струмів, що збігаються в будь-якій точці розгалуження провідників, дорівнює нулю:

або, алгебрична сума сил струмів, які входять у вузол електричного кола, дорівнює алгебричній сумі сил струмів, які виходять із вузла.

Перше правило Кірхгофа є наслідком закону збереження заряду. Для неперервно розподілених у просторі струмів воно відповідає рівнянню неперервності.

Друге правило Кірхгофа

Для будь-якого замкнутого контуру провідників алгебрична сума електрорушійних сил дорівнює алгебричній сумі добутків сил струму на кожній ділянці контуру на опір ділянки, враховуючи внутрішні опори джерел струму.

Математично друге правило Кірхгофа записується так:

Складання рівнянь для струмів і напруг Якщо ділянка кола містить вузлів, то вона описується рівняннями струмів. Це може застосувати й до інших фізичних явищ (наприклад, система трубопроводів рідини чи газу з насосами), де виконується закон збереження частинок середовища і потоку цих часток.

Якщо діланка кола містить гілок, з яких гілок містять джерела струму, то вона описується рівняннями напруги.

Правила Кірхгофа, записані для вузлів або контурів кола, дають повну систему лінійних рівнянь, яка дає змогу знайти всі струми й усі напруги. Перед складанням рівнянь потрібно довільно вибрати: додатні напрями струмів у гілках і позначити їх на схемі, при цьому не обов'язково стежити, щоб у вузлі напрями струмів були і вхідні, і вихідні, остаточний розв'язок системи рівнянь усе одно дасть правильні знаки струмів вузла; додатні напрямки обходу контурів для складання рівнянь за другим законом, для уніфікації рекомендується для всіх контурів додатні напрями обходу вибирати однаковими (наприклад, за годинниковою стрілкою). Якщо напрям струму збігається з напрямом обходу контуру (який вибирається довільно), спад напруги вважається додатним, інакше — від'ємним. Під час запису лінійно незалежних рівнянь за другим правилом Кірхгофа прагнуть, щоб у кожен новий контур, для якого складають рівняння, входила хоча б одна нова гілка, яка не ввійшла до попередніх контурів, для яких уже записано рівняння за другим законом (достатня, але не необхідна умова). У складних непланарних графах електричних кіл людині складно побачити незалежні контури і вузли, кожен незалежний контур (вузол) при складанні системи рівнянь породжує ще 1 лінійне рівняння в системі лінійних рівнянь, що визначає задачу. Підрахунок кількості незалежних контурів та їх явне вказання в​ конкретному графі розвинено в теорії графів.

Використання

Послідовне застосування правил Кірхгофа до всіх вузлів і контурів у складній електротехнічній мережі дає змогу скласти повну систему лінійних рівнянь для визначення сил струму в кожній із ділянок.

Для розрахунку кола спочатку малюють електротехнічну схему та довільно позначають стрілками напрями струмів на кожній ділянці. Потім виділяються замкнуті контури й обходять їх в одному довільно вибраному напрямку. Якщо стрілка, яка вказує напрям струму напрямлена проти обходу, то відповідний добуток струму на опір береться зі знаком мінус.

Якщо під час обходу переходять від від'ємного полюса джерела струму до додатного, то е.р.с. записується зі знаком «плюс», якщо навпаки, то зі знаком «мінус».

Результатом є система рівнянь, розв'язуючи яку, визначають сили струму. Якщо сила струму вийшла від'ємною, то це значить, що напрям струму на цій ділянці насправді буде протилежним до вибраного довільно на початку розв'язування. Це не впливає на співвідношення та правильність чисельних розв'язків.

Приклади Приклад 1

Припустимо, що електрична схема складається з двох джерел напруги і трьох резисторів.

Відповідно до першого правила маємо

Другий закон, застосований до замкненого контуру дає

Другий закон, застосований до замкненого кола дає

Отже, маємо систему лінійних рівнянь для :

Або еквівалентно:

Приклад 2

Кількість вузлів: 3.

Кількість гілок (у замкнутих контурах): 4. Кількість гілок, що містять джерело струму: 0.

Кількість контурів: 2.

Для наведеної на малюнку ділянки кола, згідно з першим правилом, виконуються такі співвідношення:

Зверніть увагу, що для кожного вузла слід обрати додатний напрямок, наприклад, тут струми, що входять у вузол, вважаються додатними, а ті, що виходять, — від'ємними.

Розв'язання отриманої лінійної системи алгебричних рівнянь дає змогу визначити всі струми вузлів і гілок, такий підхід до аналізу ділянки кола називають методом контурних струмів.

Згідно з другим правилом, виконуються співвідношення:

Отримані системи рівнянь повністю описують аналізовану ділянку кола, і їх розв'язки визначають усі струми і всі напруги гілок. Такий підхід до аналізу ділянки кола називають методом вузлових потенціалів.

Про значення для електротехніки Правила Кірхгофа мають прикладний характер і дають змогу разом із іншими прийомами та способами (метод еквівалентного генератора, принцип суперпозиції, спосіб складання потенціальної діаграми) розв'язувати електротехнічні задачі. Правила Кірхгофа знайшли широке застосування завдяки простоті формулювання рівнянь та можливості їх розв'язання стандартними методами лінійної алгебри (методом Крамера, методом Гаусса та ін.).

Значення в математиці Перше правило Кірхгофа можна сформулювати в матричному вигляді. Нехай ділянка електричного кола складається з вузлів. Складемо матрицю , де при  — провідність гілки, яка з'єднує вузли з номерами та (якщо вони не з'єднані, можна подумки поєднати їх гілкою нульової провідності). При цьому . Нехай  — потенціал, який ми розглядаємо як функцію, визначену на множині вузлів (або, що те саме, вектор в -вимірному просторі ). Тоді за визначенням провідності маємо , де  — струм у гілці, що йде з вершини у вершину . Тоді, перше правило Кірхгофа для -го вузла можна записати як , або ж , або ж, враховуючи визначення діагональних елементів матриці, як . В лівої частини рівності легко дізнатися координату добутку матриці на вектор-стовпець .

Отже, перше правило Кірхгофа в матричному вигляді:

.

У такому вигляді воно допускає узагальнення на провідні поверхні. Провідність криволінійної поверхні залежить не лише від точки, але й від напрямку. Іншими словами, провідність є функцією на дотичних векторах до поверхні. Якщо вважати, що на дотичних просторах вона добре наближається додатно визначеною квадратичною формою, можна говорити про неї як про ріманову метрику (що відрізняється від відстані на поверхні як геометричній формі, яка враховує неізотропність її електричних властивостей). Кожна точка поверхні може бути вузлом, тому потенціал буде не вектором, а функцією на поверхні. Аналогом матриці провідностей буде оператор Лапласа — Бельтрамі метрики-провідності, який діє на просторі гладких функцій. Перше правило Кірхгофа на поверхні каже те саме: . Інакше кажучи, потенціал є гармонічною функцією.

Через це матрицю , зіставлювану довільному зваженому графу, крім діагоналі рівну матриці суміжності, іноді називають дискретним лапласіаном. Аналоги теорем про гармонічні функції, як-от існування гармонічної функції в області з краєм за заданих значень на краї, яка виходить унаслідок згортки з деяким ядром, існують і для гармонічних дискретних функцій. І навпаки, провідна поверхня може бути наближена сіткою опорів і дискретні гармонічні функції на цій сітці наближають гармонічні функції на відповідній поверхні. На цій обставині заснований інтегратор Гершгорина, аналогова обчислювальна машина, використовувана для розв'язування рівняння Лапласа в 1930-1970-х роках.

У разі провідної поверхні замість різниці потенціалів є сенс говорити про 1-форму . Пов'язане з нею за допомогою метрики-провідності векторне поле  — і є електричний струм на цій поверхні. Згідно з першим правилом Кірхгофа, ця 1-форма теж гармонічна (тобто лежить у ядрі лапласіана Годжа, визначеного на диференціальних формах). Це дає ключ до правильного формулювання закону Кірхгофа для випадку, коли поле не потенціальне: саме, 1-форма, що виходить зі струму, який розглядається як векторне поле, за допомогою провідності, яка розглядається як ріманова метрика, має бути гармонічною. Знаючи електрорушійну силу навколо кожного топологічно нетривіального контуру на поверхні, можна відновити силу та напрямок струму в кожній точці, причому єдиним способом. Зокрема, розмірність простору різних струмів дорівнює розмірності простору топологічно нетривіальних контурів. Цей факт був однією з підстав для відкриття двоїстості Пуанкаре; те, що електрорушійні сили визначають однозначно струм (гармонічну 1-форму), є окремим випадком теорії Годжа для 1-форм (теорія Годжа стверджує, що на рімановому многовиді будь-який клас когомологій де Рама є гармонічною формою, до того ж лише однією).

Інші закони, відкриті Кірхгофом Кірхгоф установив ще два закони, які нині мають його ім'я. Вони не стосуються електротехніки.

Закон випромінювання Кірхгофа Закон випромінювання Кірхгофа: відношення випромінювальної здатності будь-якого тіла до його поглинальної здатності однакове для всіх тіл за даної температури для даної частоти для рівноважного випромінювання і не залежить від їх форми, хімічного складу тощо.

Закон Кірхгофа в хімії Закон Кірхгофа каже — температурний коефіцієнт теплового ефекту хімічної реакції дорівнює зміні теплоємності системи в ході реакції.

Див. також Матрична теорема про дерева Метод еквівалентного генератора

Примітки

Джерела