Означення
Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною.
Критерій повноти метричного простору
Для того, щоб метричний простір був повним необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність замкнених вкладених одна в одну куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.
Приклади повних метричних просторів
Метричний простір (тобто з евклідововою метрикою). Коротке позначення цього простору: .
Метричний простір . Коротке позначення цього простору: .
Метричний простір . Коротке позначення цього простору: .
Метричний простір . Коротке позначення цього простору: .
Метричний простір , де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а — чебишовська (рівномірна) метрика, тобто . Коротке позначення цього простору: C[a,b].
Приклад неповного метричного простору
Метричний простір (C[a,b],d), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а — метрика, означена рівністю: . Коротке позначення цього простору: .
Джерела
Функціональний аналіз, спеціальність «Прикладна математика». Лекція № 7. Повні метричні простори. Кафедра обчислювальної математики факультету кібернетики КНУ