Зміст Наступна __ОБОВ_ЗМІСТ__ Обернені тригонометричні функції Нехай про кут відомо лише те, що його синус дорівнює : . Чи можемо ми знайти цей кут? Як відомо, . Тому можливо, що . Разом з тим в силу періодичності синуса . Тому не виключена можливість, що . Взагалі, яке б не було , . Отже, шуканим кутом може бути будь-який з кутів , , , і т.д. Таким чином, за означенням свого синуса кут визначається неоднозначно. Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арксинусом і позначається .

Позначення від латинського arcus cuius sinus x est і означає, що у є величиною такого кута в радіанах, синус якого дорівнює . Про арксинус як функцію обернену до функції синус дає змогу говорити теорема про існування і неперервність оберненої функції. Згідно неї, функція має обернену функцію на проміжку, якщо вона неперервна і монотонна на цьому проміжку. Дійсно, функція неперервна на всій області визначення і монотонна на кожному з проміжків , . Крім того, на кожному з цих проміжків функція пробігає всю множину значень (від -1 до 1). Саме тому ми можемо говорити про функцію як обернену до функції . Найчастіше використовують функцію при . Тоді говорять про головне значення арксинуса, яке позначають . Як відомо, графіки прямої та оберненої функції симетричні відносно прямої . Це дає змогу легко зобразити графік функції (див. малюнок) Дамо аналогічні означення інших обернених тригонометричних функцій. Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арккосинусом і позначається .

Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арктангенсом і позначається . Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арккотангенсом і позначається . Так само, як і у випадку , функції , , монотонні і існують для кожного згідно теореми про існування і неперервність оберненої функції. При можемо говорити про головні значення обернених тригонометричних функцій: з множиною значень ; з множиною значень ; з множиною значень . Графіки функцій , , зображені на малюнках. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування Найпростішими тригонометричними рівняннями ми будемо називати рівняння вигляду , , , . Розглянемо, які корені мають ці рівняння.

Розглянемо рівняння . Кожен корінь рівняння можна розглядати як абсцису якоїсь точки перетину синусоїди з прямою і, навпаки, абсциса кожної такої точки перетину є одним з коренів даного рівняння. При синусоїда не перетинається з прямою . У цьому випадку рівняння коренів не має. Нехай . Тоді на проміжку маємо дві точки перетину і . Точка попадає і на проміжок . Тому її абсциса дорівнює . Що ж до точки , то її абсциса, як легко побачити з малюнка, дорівнює . Всі інші точки перетину синусоїди з прямою ми розіб’ємо на дві групи: та . Точки першої групи віддалені від на відстані, кратні , і тому мають абсциси , . Точки другої групи віддалені від точки на відстані, кратні , і тому мають абсциси , . Таким чином, рівняння має дві групи коренів. Легко зрозуміти, що обидві ці групи можна подати однією формулою: , (63) До такого ж результату можна прийти і тоді, коли . Ми не будемо докладно розбирати цей випадок, а пропонуємо зробити це самостійно. При рівняння має корені , . (64) Такий самий результат дає і формула (63) при . При коренями рівняння будуть числа , . (65) Формула (63) охоплює і цей випадок. Справді, поклавши в ній і врахувавши, що , дістаємо: , . Якщо – парне ( ), то , . Якщо – непарне ( ), то , . І той, і другий випадок враховується формулою (65). Якщо , то коренями рівняння будуть числа: , . (66) Формула (63) дає той же результат. Формули коренів рівнянь , , шукаються аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Ми обмежимось тим, що занесемо корені найпростіших тригонометричних рівнянь до таблиці( – довільне ціле число): Рівняння Обмеження Формули , , немає , немає ,

Вправи Розв’язати рівняння.

74.

75.

76.

77.

78.

79. Розв’язати вправи 74-75 за допомогою тригонометричного кола.

80. Розв’язати вправу 76 за допомогою лінії тангенсів.

Зміст Наступна