Основи математичної фізики Математична фізика належить до прикладної математики, до диференціальних рівнянь (коректно поставлена задача за Адамаром, крайові задачі, асимптотичні методи, топологічна, метрична ентропія тощо). Тобто математична фізика не належить до теоретичної математики. Щоб краще зрозуміти з'ясувати зв'язок між фізикою та математикою, звернімося до словника. Відомий математик Ю.І.Манін пояснює математику як метафору (грец. μεταφορά — "перенесення" від μετά "над" + φορός "несучий"). Префікс "мета-" (грец. μέτα) — грецький прийменник та відповідний префікс, що означає "з" (у місці), "посеред", "після" (у часі), а також "поряд" та "понад" (у переносному значенні, як у слові метафора). Як говорилося раніше, алгебра вивчає час, геометрія вивчає простір, а аналіз - континуум час-простір. Поняття математичної фізики можна ототожнити із поняттям метафізики (грец. Τά μετά τά φυσικά — "те, що понад фізикою"). Таким чином, термін "математична фізика" є не синонімом терміну "метафізика".
Теореми існування розглядаються з інтуїціоністської та з конструктивної точок зору. З конструктивної точки зору ставиться питання про конструктивність (ефективність побудови) об'єкта, існування якого доводиться. Теорема, у якій об'єкт конструюється, вважається більш змістовною, ніж так звана теорема, у якій стверджується існування деякого об'єкта, однак нічого не говориться про те, як він влаштований. За інтуїціоністського підходу теореми існування формулюються більш слабко, ніж за конструктивного. Теореми першого типу називаються конструктивними теоремами існування, теоремами другого типу - теоремами чистого існування. Конструктивні теореми доводяться складніше, ніж відповідні теореми чистого існування, або на деякому етапі математичної творчості математиків-теоретиків вони можуть бути невідомими. Фізики використовують математичні об'єкти, винайдені математиками-теоретиками, реалізуючи їх у матеріальних формах. У цьому сенсі діяльність фізиків - це матеріальні демонстрації математичних об'єктів (подібно до того, як група кубіка-рубіка представляється самим предметом - кубіком-рубіка). Наприклад, як у випадку із гомологіями Хованова: можна розглядати функтор між категорією оснащених кобордизмів одновимірних многовидів й категорією ланцюгових комплексів. Така інтерпретація встановлює зв'язок між топологічною квантовою теорією поля й теорією вузлів. Фізики шукають подібні зв'язки, метафорично бавлячись у пісочниці, яку побудували математики. Спільнота фізиків містить й багато аферистів, наприклад, які пропагують так звані часові кристали та їх зв'язок із квантовими комп'ютерами. Самі квантові комп'ютери - це афера, якщо розібратися у фізичному змісті квантової заплутаності (що пов'язана із поняттям ентропії, чи інтрапсихічної атаксії).
З іншого боку, наприкінці 1980-х років Ю.І.Манін помітив, о 1960-ті були 10-річним розквітом для алгебричної топології, 1970-ті - для алгебричної геометрії, 1980-ті - для математичної фізики. У цьому сенсі, математик М.С.Вербицький вважає, що 1980-ті тривають до цих пір, оскільки математичні ідеї, пов'язані із 1990-ми (гіпотеза Концевича, інваріанти Громова-Уїттена, інваріанти Зайберга-Уїттена, квантові когомології) - усі походять з теорії струн. Математика втратила загальний контекст, а в умовах втрати абстрактних чинників єдиним ефективним чинником стає утилітарний: математика лише тому цікава, що вона пов'язана із теорією струн (майже уся математика, яка відноситься до фізики, відноситься до струнної геометрії). Релевантність для фізики - це єдиний чинник, усі цікаві ідеї зазвичай пов'язані із фізикою струн.
Говорячи про фізичне товариство, необхідно відзначити, що вже давно існує мода на присвоєння певним математичним об'єктам, ідеям імен людей. Такий підхід натякає на потенційну можливість уведення права на власність. Скажімо, відомий фізик Альберт Ейнштейн за заповітом передав Єврейському університету свої особисті й наукові праці (в наслідок чого були організовані університетські Архіви Альберта Ейнштейна). Щоб запобігти привласненню математичних об'єктів та ідей, бажано відмовитися від такого підходу, надавати перевагу абревіатурам (за фразеологізмом "називати речі своїми іменами").
З'ясування суті фізичного простору-часу відноситься до числа найважливіших питань фундаментальної фізики й усього природознавства в цілому. Погляди на суть простору і часу базуються на двох підходах: субстанціальному й реляційному. Реляційний підхід базується на понятті відношення (лат. relativus - відносний). Наприклад, у геометрії відношенням є метрика (відстані). У сучасній геометрії спочатку розглядають координатну систему у многовиді певної розмірності, а згодом задається метрика. Однак можна мислити й навпаки: можна починати із відстаней (парних відношень між точками), а потім вже з них отримувати координати й усі інші поняття.
Реляційний підхід називають також концепцією дальнодії, згідно до якої тіла діють один на одного без матеріальних посередників, через пустоту, на будь-якій відстані. Субстанціалізм називають також концепцією близькодії, згідно до якої взаємодії передаються за допомогою матеріальних посередників та із скінченною швидкістю (наприклад, у випадку електромагнітних взаємодій таким посередником є електромагнітне поле, яке розповсюджується із швидкістю світла).
У найпростішій математичній моделі реляційної фізики розглядають множину елементів довільної природи, між якими визначені (числові) відношення, наділені певними алгебричними властивостями. У математичному сенсі елемент множини є примітивом теорії, тобто це поняття є вихідним. У фізичному ж сенсі в якості елементів можуть бути геометричні точки, точки-події теорії відносності, фізичні тіла, елементарні частинки тощо. В загальному випадку відношення між елементами - це комплексне або дійсне число, яке ставиться у відповідність парі, трійці, четвірці тощо елементів, які належать до однієї чи різних множин. В якості відношень можуть розглядатися відстані між точками, метрика, скалярні добутки векторів тощо. Найбільш важливими є випадки, коли числа ставляться у відповідність парам елементів - саме такими є метричні відношення у загальноприйнятій геометрії або теорії афінних просторів.
Математику ділять на лінгвістичну (дискретну) й неперервну (фізичну). Математична фізика досліджує процеси у системі, яка зазвичай представляє собою декотру область простору, заповнену неперервним матеріальним середовищем (суцільним середовищем). У цій області величини, які описують становище середовища й процеси, які у ньому відбуваються, залежать від просторових координат та часу. Теоретичною основою для побудови математичних моделей процесів у таких областях є механіка та електродинаміка неперервних (суцільних) середовищ. У загальному, у математичній фізиці розглядають 3 рівня поведінки системи: взаємодія системи із суцільним середовищем; взаємодія елементарних об'ємів системи; властивості окремо взятого елементарного об'єму.
На першому рівні взаємодія розглядається з точки зору так званих крайових умов, тобто умов на межі області рішення задачі. Ці умови містять так звані граничні й початкові умови. На другому рівні описується взаємодія елементарних об'ємів на засадах законів збереження фізичних субстанцій та їх переміщення у просторі, що дозволяє розглядати моделі процесів перенесення цих субстанцій. На третьому рівні віднаходяться рівняння стану середовища, тобто будуються моделі поведінки середовища у елементарному об'ємі.
Для задач фізичної природи висуваються такі вимоги: існування розв'язку; задача повинна мати розв'язок (задача яка має розв'язок не представляє інтересу як математична модель); єдиність розв'язку; не повинно існувати декілька розв'язків задачі; неперервна залежність від вхідних даних; розв'язок задачі повинен мало змінюватись при малій зміні вхідних даних.
Фізичні величини
Найпростішим поняттям математики є поняття числа. Людина сприймає предмети або роздільно існуючі, або у їх сукупності (стадо тварин, купка валунів тощо). Поняття одиниці та поняття множини одиниць є суперечливими. Поняття числа включає у себе і поняття множини, і поняття одиниць, що її складають. За Евклідом число є множиною одиниць.
До 19 століття важалося, що математика є несуперечливою, однак згодом неочікувано виникли труднощі, які вказували на необхідність глибокого аналізу основ. У книзі "Principia Mathematica" Уайтхед та Расел показали, що математичні твердження про дійсні числа (і не лише про відношення цілих чисел, як додатних, так й від'ємних) можна сформулювати по-іншому: як уявлення про елементарну відповідність класів (яка встановлюється співставленням їх елементів), так що їх можна вивести із аксіом такого співставлення й аксіом чистої логіки. Число є властивістю, спільною для усіх класів, які можуть бути поставлені один одному у відповідність шляхом співставлення їх елементів (по одному з кожного класу), відтак усі елементи утворюють пари і жодного зайвого не залишається.
Використання математики - це використання мови, за допомогою якої можна встановлювати співвідношення, надто складні для того, щоб їх можна було достатньо коротко описати природною мовою. Правила, яким підпорядковуються символи - граматика такої мови. Для того, щоб бути придатною, мова повинна задовільняти двом умовам: з її допомогою можна сказати, що потрібно (тобто вона має бути достатньо загальною); вона повинна бути несуперечливою.
К.Ґьодель та Р.Карнап показали, що несуперечливість системи математичних аксіом не може бути доказаною методами, які базуються лише на правилах даної системи.
У фізиці фундаментальне поняття виміру є близьким до поняття додавання, а більшість фізичних законів за своєю суттю є твердженнями про пропорційності, що відповідає поняттям множення та ділення. Величини, які можна виміряти за допомогою фізичного додавання, називаються елементарними (основними величинами). Найбільш важливими серед них є числа (класів), довжина, час та маса.
Елементи системи утворюють поле якщо: 1) та є однозначно визначеними елементами для будь-яких 2) (справджується переставний закон додавання); 3) (справджується сполучний закон додавання); 4) (справджується переставний закон множення); 5) (справджується сполучний закон множення); 6) (справджується розподільний закон множення); 7) поле містить два елементи та такі, що та для будь-якого ( - ідемпотент або одиниця поля , тобто ); 8) для будь-якого елемента існує елемент такий, що ; 9) для кожного елемента окрім елемента (нуля), існує протилежний елемент такий, що (тобто ).
Перші сім правил справджуються, якщо поле складається лише з додатних цілих чисел із нулем, . Останні два правила не справедливі для такого поля, оскільки у такому немає такого цілого що за і немає такого цілого за якого якщо вважати Восьме правило уводить від'ємні числа та, відповідно, віднімання. Дев'яте правило уводить зворотні величини (і звідси ділення та раціональні дроби). Ці правила справджуються, якщо поле складається з усіх раціональних чисел (додатних та від'ємних). Сформульовані правила не встановлюють яке-небудь відношення порядку, тобто хоча вони матьна увазі поняття рівності (та, відповідно, нерівності ), вони не уводять поняття "більше" () чи "менше" (). У фізиці вимір є встановленням рівності у межах певної похибки (а не точної рівності), відтак необхідні додаткові правила, які визначають нерівності: 10) для будь-яких справджуються та якщо (закон порівнюваності); 11) для опціонально справджується лише одне: чи чи чи (трихотомія); 12) якщо та то (властивість транзитивності); 13) якщо тоді для довільного (адитивність впорядкування); 14) якщо та то (мультиплікативність впорякування); 15) якщо то (визначення знаку ).