Натуральні числа застосовуються для двох головних цілей: для лічби та для впорядкування. Множина натуральних чисел вважається нескінченною: Потужність множини натуральних чисел позначають символом

Вступ Перераховуючи елементи даної скінченної множини , ми ставимо цій множині у відповідність деяке натуральне число, і таким чином відповідаємо на запитання про те, скільки елементів міститься у цій множині. Впорядковуючи множину за допомогою натуральних чисел, занумеровуюмо її елементи як перший, другий, третій тощо. Таким чином, довільна множина називається зліченною, якщо її елементи можна занумерувати натуральними числами, тобто Множина натуральних чисел розглядається як множина елементів (які утворюються з символів абетки тобто цифр), на якій визначене відношення безпосереднього слідування: натуральне число безпосередньо слідує за натуральним чином ( слідує безпосередньо за 1, 3 слідує безпосередньо за 2 тощо).

Множина натуральних чисел має наступні властивості: 1. існує натуральне число (одиниця), яке не слідує за жодним іншим натуральним числом, тобто число є мінімальним елементом множини 2. Для будь-якого натурального числа існує лише одне натуральне число , що безпосередньо слідує за ним. 3. Будь-яке натуральне число слідує не більш ніж за одним натуральним числом. 4. Кожна множина натуральних чисел , яка містить число і яка з кожним числом що міститься у ній, містить також і слідуюче за цим числом число співпадає із множиною усіх натуральних чисел, тобто .

Ці чотири властивості називаються аксіомами Пеано. Яким є їхній зміст? У першій аксіомі стверджується, що у множині натуральних чисел є число, яке не слідує за жодним іншим числом цієї множини. Друга аксіома встановлює нескінченність множини натуральних чисел. Щоправда, для цього необхідно ще показати, що У третій аксіомі мова йде про те, що жодне натуральне число не може слідувати за двома різними числами. Четверта аксіома називається аксіомою математичної індукції. Вона лежить в основі методу індуктивного доказу математичних тверджень, який називається методом математичної індукції.

Як говорилося у другій аксіомі, Запевнимося у цьому й розгляньмо - множину усіх тих натуральних чисел для кожного з яких Тоді оскільки за першою аксіомою Справді, оскільки у протилежному випадку, за третьою аксіомою, мала б місце рівність та, відповідно, не належало би до Таким чином, можина задовільняє умовам аксіоми індукції і тому а відповідно для будь-якого справедлива нерівність

Якщо множина є рівночисельною підмножині множини то говорять, що кардинальне число не більше кардинального числа Нехай та - такі множини, що чисельність дорівнює чисельності підмножини множини а чисельність дорівнює чисельності підмножини множини У такому випадку кажуть, що та рівночисельні (рівнопотужні, тобто їхні кардинальні числа є рівними). Множина називається зліченною, якщо між нею та множиною натуральних чисел можно встановити взаємно однозначну відповідність. Зрозуміло, що якщо - нескінченна множина, то й - також нескінченна множина. Між цими множинами можна встановити взаємно однозначну відповідність: для Таким самим чином множина непарних натуральних чисел є зліченною: для

Рівночисельність є рівносильним відношенню еквівалентності. Відношення рівночисельності розбиває усі множини на класи еквівалентності, занумеровані кардинальними числами (коротше, кардиналами). Інакше кажучи, кардинальне число (кардинал) множини - це клас еквівалентності (шар) множин, рівночисельних Тобто рівночисельні множини входять до одного й того ж шару. Кожний шар - визначається окремим кардинальним числом. Зрозуміло, що таке під таким розшаруванням йдеться про порядок: При цьому вважається, що - надзвичайно чисельна множина, чисельність якої може бути за необхідності збільшена настільки, наскільки потрібно. У такому випадку називають універсумом. Нажаль, існування універсуму рівносильно існуванню сильно недосяжних кардиналів у теорії множин. З аксіоматичної ж точки зору "клас еквівалентності множин, рівночисельних множині " не є множиною. Тим не менш, "множину кардиналів, менших даного" визначити можна.

Дії над натуральними числами

Додавання натуральних чисел Бінарна операція на множині - це декотре відображення Зокрема, операція додавання натуральних чисел - це декотре відображення Тому визначення додавання на множині полягає у відшуканні відображення наділеного відомими властивостями додавання натуральних чисел. Таким чином, при додаванні розглядається добуток що складається з впорядкованих пар натуральних чисел і множина натуральних чисел Число, у яке відображається пара за відображення позначають виразом і називають сумою доданків та

За будь-яких значень доданків та сума не змінюється, якщо ці доданки поміняти місцями: Ця властивість додавання називається переставною і формулюється наступним чином: від перестановки доданків сума не змінюється. На відміну від додавання, для віднімання натуральних чисел переставна властивість не є властивою:

Якщо до суми доданків та додати третє число, то отримаємо число, яке дорівнює сумі першого числа і результату додавання другого та третього чисел: Із сказаного можна зробити висновок, що доданки можна переставляти місцями і об'єднувати у будь-яку групу (групувати). З цього також можна зробити наступний висновок: сума двох натуральних чисел є завжди більшою від кожного з доданків, тобто та У загальному випадку та

Множення натуральних чисел Бінарна операція множення на множині натуральних чисел є відображенням яке кожній парі натуральних чисел ставить у відповідність натуральне число, яке позначається виразом і називається добутком множників та

Множення натуральних чисел підпорядковується переставному законові: Тобто добуток не змінюється від перестановки множників. Щоб помножити добуток на третє число достатньо перше число помножити на добуток Тобто множення підпорядковується сполучному законові: Сполучна і переставна властивості множення дають змогу групувати множники:

Щоб помножити суму (або різницю ) на число необхідно кожний доданок (зменшуване та від'ємник відповідно) помножити на це число і отримані добутки додати (відняти). Тобто

Ця властивість множення називається розподільною властивістю множення. Від перестановки множників добуток не змінюється:

Ділення натуральних чисел також підпорядковується розподільному законові: щоб поділити суму (різницю) натуральних чисел на натуральне число, необхідно кожний доданок (зменшуване і відємник відповідно) поділити (якщо це можливо) на це число і знайдені частки додати (відняти). Тобто

Найменше спільне кратне (НСК) Розкладання числа на множники - представлення його у вигляді добутку множників. Зокрема, ми можемо вимагати, щоб усі множники при розкладі даного числа були простими числами. Розгляньмо числа Розкладімо їх на додатні прості множники, послідовно ділячи їх (та отримані від ділення частки) на найменші невід'ємні прості числа. Це зручно робити наступним чином: провести вертикальну лінію і ліворуч послідовно (згори вниз) записати число та отримані частки від ділення на прості числа, а праворуч - прості числа навпроти відповідних дільників. Таким чином, праворуч ми отримаємо прості дільники (прості множники). У прикладі із числом ми спочатку ділимо його на найменший простий дільник - на просте число Отриману частку, тобто число ми далі ділимо на найменше просте число тощо.

Найменше спільне кратне двох натуральних чисел та - найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожний з двох даних натуральних дільників. Нехай a Найменшим натуральним числом, яке ділиться націло на та на є число Пишуть НСК(3;6)=6. Для чисел та НСК(8;15)=120. НСК зручно знаходити за наступним правилом: розкласти дані числа на прості множники; виділити степені, основи яких є присутніми лише у одному з розкладів на прості множники; помножити виділені степені між собою.

Розгляньмо числа Розкладімо їх на прості множники:

Далі, виділимо степені основ, які присутні лише у одному з розкладів: тобто Перемножуючи їх, отримуємо НСК(18; 24; 30)

Якщо та - прості числа, то НСК(a; b) буде їх добуток, Якщо число є дільником числа (тобто якщо число ) ділиться на число націло, то НСК(a; b)

Розгляньмо декілька прикладів: НСК(25; 32; 7); розклад на прості множники: добуток степенів основ, присутніх лише у одному із розкладів, НСК(25, 32, 7) НСК (8; 9; 15); розклад на прості множники: НСК(8; 9; 15) НСК (7; 13); числа та є простими, тому НСК(7; 13) НСК (54; 6); число ділиться на і тому НСК(54; 6)=

Найбільший спільний дільник (НСД) Найбільше натуральне число, на яке діляться дані натуральні числа, називається найбільшим спільним дільником для цих чисел. Наприклад, для чисел найбільшим спільним дільником буде число Тобто НСД(10; 15; 230) Взагалі, щоб віднайти НСД даних чисел, зручно користуватися наступним правилом: розкласти ці числа на прості дільники: ; виділити степені, основи яких є спільними простими дільниками даних чисел: у нашому випадку лише число є спільним простим дільником чисел та ; виділити з розкладу найменші показники степенів однакових основ; перемножити їх. Розгляньмо декілька прикладів: НСД(12; 32; 44); розкладемо числа на прості множники: степінь із основою (тобто ) є НСД(12; 32; 44); НСД(455; 770); розкладімо дані числа на прості множники: лише числа та є простими множиками чисел та тому НСД(455; 770) НСД (17; 19; 43); числа є взаємно простими, оскільки найбільшим спільним дільником для них є число

Округлення натуральних чисел Нехай чисельність населення міста, встановлена в результаті перепису населення, становить чоловік. Це число незабаром може стани іншим, наприклад, в результаті епідемії деякої хвороби. У ньому зміняться цифри одиниць, десятків, а згодом й сотень. Відтак на запитання, скільки людей проживає у даному місті, відповідають: близько Це число називається наближенням значення числа і записується за допомогою символа тобто Заміна числа його наближеним значенням називається округленням, а результат округлення - округленим числом до деякого розряду, скажімо, коли усі цифри праворуч від обраного розряду (до якого мається намір округлювати дане число) замінюються нулями, тобто Наприклад, швидкість світла у вакуумі становить метрів на секунду. Цю величину замінюють її наближеним значенням - м/с або км/с.

При округленні користуються наступним правилом: якщо перша ліворуч з цифр, що замінюються нулями, менша за , то остання залишена цифра не замінюється. Нехай число необхідно округлити до десятків, тобто У цьому випадку тому Якщо ж маємо число і нам потрібно округлити його до десятків, тобто то у цьому випадку розряд десятків збільшиться на одиницю, Зрозуміло, що якщо число, яке позначає сусідня цифра праворуч від обраного розряду, більше то обраний розряд збільшується на одиницю; якщо менше (тобто дорівнює або менше), то обраний розряд залишається незмінним.

Розширена множина натуральних чисел Розширеною множиною натуральних чисел називається множина натуральних чисел, що містить число тобто Те, що число у загальному випадку не належить до множини натуральних чисел пов'язане із тим, що множина натуральних чисел слугує для лічби, підрахунку предметів, а число позначає відсутність предметів взагалі. При цьому не потрібно плутати число та цифру яка позначає відсутність відповідного розряду при записі числа. За уведення числа впроваджують правило, згідно з яким забороняється здійснювати ділення чисел на чило Причина такої заборони стане зрозумілою згодом. Добуток від множення довільного числа на число дорівнює нулю, тобто Віднімання чи додавання до числа нуля дорівнює самому цьому числу тобто та

Факторіал - добуток усіх натуральних чисел від до даного натурального числа Символічно факторіал позначається за допомогою знаку оклику, Наприклад, (читається "П'ять факторіал дорівнює сто двадцять"). Вважають, що

Факторіал дорівнює числу перестановок елементів множини із кардинальним числом Наприклад, нехай Зрозуміло, що чисельність дорівнює Розгляньмо число способів перестановки елементів множини