Основні аксіоми Системою дійсних чисел називається впорядкована множина, у якій кожна обмежена згори підмножини його елементів має точну верхню грань. Система дійсних чисел позначається літерою Більш широко: система дійсних чисел - будь-яка множина яка містить принаймні два різних елементи, на якій визначені дві бінарні операції - додавання й множення, а також уведене відношення (" менше "), причому справджуються наступні аксіоми.
Аксіоми системи. 1. Для усіх справджується сполучний закон додавання: . 2. Для усіх справджується переставний закон додавання: . 3. Для усіх виконується операція віднімання: існує таке що . 4. Для усіх справджується сполучний закон множення: . 5. Для усіх справджується переставний закон множення: . 6. Для усіх справджується розподільний закон множення відносно додавання: . 7. Для усіх за виконується операція ділення (окрім ділення на нуль): існує таке що .
Слідства: у системі дійсних чисел сума та добуток декількох елементів (дійсних чисел) не залежать від способу розташування дужок й порядку відповідно доданків та множників. справедливими є визначені раніше правила множення й розкриття дужок; для кожного числа існує протилежне число ; для кожного відмінного від нуля числа існує протилежне число ; немає ділених, дільниками яких є нуль.
Аксіоми впорядкування. 8. Для довільних виконується лише одне із співвідношень: або або . 9. Для усіх відношення є транзитивним: . 10. Для усіх монотонність додавання: . 11. Для усіх монотонність множення: .
Слідства: з точка зору бінарних операцій й відношення порядку система раціональних чисел міститься у системі дійсних чисел ; саме у такому розумінні система раціональних чисел є підсистемою системи дійсних чисел (при цьому говорять, що є розширенням системи раціональних чисел ).
Функція Діріхле - функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення з множини зокрема, значення якщо аргумент є раціональним числом, та значення якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:
де множина раціональних чисел, а - множина дійсних чисел.
Аксіома точної верхньої грані. 12. Будь-яка обмежена згори множина має у точну верхню грань.
Дедекіндовий перетин Нехай - підмножина множини усіх дійсних чисел. Припустімо, що серед чисел немає найбільшого. Здійснімо перетин у області усіх дійсних чисел: до верхнього класу віднесемо усі перхні границі множини а до нижнього класу - усі інші дійсні числа При цьому розбитті множини на дві частини усі числа множини попадуть до класу оскільки жодне з них за припущенням не буде найбільшим. Таким чином, обидва класи та є непустими. Це розбиття є перетином, оскільки усі дійсні числа розподілені по класам, де кожне число класу є більшим від будь-якого числа класу За теоремою Дедекінда повинне існувати число яке здійснює перетин. Усі числа не перебільшують це "примежеве" число тобто є верхньою межею для та, відповідно, міститься у класі і є там найменшим. Розмірковуючи аналогічним чином, можна сказати, що число є найбільшим у класі та нижньою межею для
Для кожного дійсного числа існує протилежне (симетричне) до нього число яке задовільняє умові Розгляньмо число яке визначається перетином Визначмо число за допомогою перетину наступним чином. До нижнього класу числа віднесімо усі раціональні числа де - довільне число класу а до верхнього класу числа віднісімо усі числа де - довільне число класу
Сума є дійсним числом, яке міститься між числами та де та є раціональними та Однак тому і число міститься між та Через єдиність числа, яке має таку властивість, маємо
Дедекіндовий перетин є аксіоматичним способом уведення іраціональних чисел. Наприклад, є іраціональним числом, яке розбиває раціональні числа на два класи: перший клас складають від'ємні числа, нуль та додатні числа а другий клас складають додатні числа такі, що
Позиційний десятковий запис дійсного числа Десятковий дріб - форма запису звичайного дробу у якого знаменник де Наприклад,
Кожний звичайний дріб можна подати у вигляді десяткового дробу. Для цього необхідно виконати дію ділення та поділити чисельник на знаменник. Наприклад,
Три крапки означає, що дріб є нескінченним. Періодом нескінченного дробу називається найменша група цифрових значень після крапки десяткового дробу, що повторюється. У дробах
Період записується у дужках, як показано у наведених прикладах. Нескінченний десятковий дріб, що містить період, називається періодичним.
Кожний нескінченний десятковий періодичний дріб може бути поданий у вигляді звичайного дробу. Наприклад, подамо дріб у вигляді звичайного дробу. Період цього дробу складається з однієї цифри; помножимо на 10:
Обчислимо різницю Таким чином,
За будь-якого система напівінтервалів
має непустий перетин. Справді, якщо б деяке число належало усім напівінтервалам даної системи, то число належало б усім напівінтервалам системи
Однак жодне число не може належати усім напівінтервалам даної системи, оскільки за аксіомою Архімеда існує натуральне число для якоо
Яким б не було дійсне число завжди знайдеться лише одне таке ціле число що буде справджуватися нерівність За принципом Архімеда існує таке натуральне число що Відповідно, Серед скінченного числа цілих чисел оберімо перше число за якого справджувалася б нерівність Тоді одержимо Нехай тепер існує ще одне ціле число таке, що Якщо тоді Але у такому випадку справджувалася б нерівність що суперечить нерівності Відтак не може бути меншим від Так само не справджується. Відповідно,
Нехай - довільне додатне дійсне число, відмінне від нуля. Існує таке ціле невід'ємне число що справджується нерівність Розділімо напівсегмент на десять напівсегментів
Число міститься лише у одному з цих напівінтервалів, оскільки вони не перетинаються. Нехай де є одним з чисел від до Тоді
Напівінтервал розділімо на десять напівінтервалів:
Число міститься лише у одному з даних напівінтервалів. Нехай де - одне з чисел Тоді буде справджуватися нерівність У свою чергу, напівінтервал розділімо на десять напівінтервалів:
Число міститься лише у одному з цих напівінтервалів. Нехай де - одне з чисел У цьому випадку Це міркування можна продовжувати нескінченно, одержуючи нескінченну послідовність чисел таку, що для довільного натурального числа
Можина раціональних чисел
таким чином, є обмеженою згори і тому, за аксіомою точної верхньої грані, має у системі дійсних чисел точну верхню грань Число за визначенням точної верхньої грані не може бути більшим від Воно також не може бути меншим від числа оскільки за будь-якого натурального числа справджувалися б нерівності
та, відповідно, і нерівність що суперечить наслідку з аксіоми Архімеда. Відповідно,
При цьому пишуть
або, у скороченому вигляді, Запишімо ціле невід'ємне число у десятковій системі лічби де за - одне з чисел причому Тоді скорочений запис запишеться наступним чином: Ціле невід'ємне число називається цілою частиною числа a називають відповідно першим, другим, ..., -тим десятковим знаком числа Символічний запис
називають десятковим розкладом, або десятковим записом, числа
Розгляньмо тепер число Арифметичним доповненням числа називається різниця між одиницею та числом Наприклад, арифметичним доповненням числа є число
Логарифми Логарифмом додатного числа із основою (де та ) називається показник степеня, до якого треба піднести основу щоб одержати число Таким чином, якщо де та то Та навпаки, якщо то Наприклад, оскільки
Якщо існує таке раціональне число що де (множина додатних дійсних чисел) та то є шуканим логарифмом.
Припустімо, що такого раціонального числа немає. Тоді можна здійснити перетин у області усіх раціональних чисел за правилом: якщо ; якщо
Нехай тепер та а також та Тоді Справді, якщо де за формулою бінома Н'ютона одержимо а оскільки ненаписані члени є додатними, то
Тоді і щоб одержати необхідно взяти Таке натуральне число належить до класу
У той же час і щоб одержати необхідно взяти У цьому випадку число належить до класу
Побудований перетин визначає дійсне число яке називається примежевим між числами обох класів та
За визначенням степені за причому є єдиним числом, яке задовільняє усім подібним нерівностям. Однак для числа за побудовою перетину маємо відтак та
Логирифм за основою називається десятковим логарифмом. При цьому записують Мантисою називається десяткова частина десяткового логарифму. Наприклад, якщо то число є мантисою, а число - характеристикою логарифма.
Основною логарифмічною тотожністю є тотожність
Властивості логарифмів:
(за ).
Формула переходу до іншої основи:
Натуральний логарифм - це логарифм за основою де - число Ейлера. При цьому записують
Нерівності
Математику називають тавтологічною наукою: про математиків кажуть, що вони витрачають час на доказ того, що предмети є рівними самим собі. Це твердження (властиве філософам) є досить неточним, оскільки, по-перше, математика не є наукою; її радше можна навати мистецтвом, оскільки математична творчість є спорідненою до художньої творчості. По-друге, основні результати математики частіше виражаються нерівностями, а не рівностями.
Пригадаймо, що символ означає "більше". У такому випадку можна відповісти на запитання: чи правильно, що ? Відповідь на це запитання очевидна.
Точка зображена правіше від точки тому необхідно вважати, шо Якщо дійсні числа (додатні й від'ємні, раціональні та іраціональні числа, а також нуль) зображені геометрично звичайним способом у вигляді точок горизонтальної числової прямої, спрямованої праворуч, то при русі уздовж прямої праворуч числа будуть з'являтися у порядку їх зростання. Варто зауважити, що число може бути записане у вигляді суми одиниць; наприклад, або тощо.
Аксіома Архімеда
З аксіоми точної верхньої грані слідує наступна аксіома Архімеда: для будь-яких двох невід'ємних дійсних чисел та завжди знайдеться таке натуральне число що справдиться нерівність
Розміковуймо протилежно. Нехай у системі чисел аксіома Архімеда не справджується. У цьому випадку існують дійсні числа та такі, що за будь-якого натурального справджується нерівність Множина усіх дійсних чисел вигляду таким чином, є обмеженою згори, і тому, за аксіомою точної верхньої грані, вона має точну верхню грань Оскільки - точна верхня грань множини то за визначенням точної верхньої грані, серед чисел існує число Звідси слідує, що а це суперечить тому, що - точна верхня грань множини Таким чином, припущення, за якого у системі дійсних чисел аксіома Архімеда не справджується, приводить до суперечливості, і тому це припущення є невірним.
Зокрема, якщо одержуємо: для будь-якого існує таке натуральне число що Впорядкована система, у якій справджується аксіома Архімеда, називають архімедівськи впорядкованою. Таким чином, система є архімедівськи впорядкованою.
Із сказаного слідує, що для будь-яких дійсних чисел та існує таке натуральне число що Справді, існує таке натуральне що Якщо помножити цю нерівність на отримаємо зокрема
Нехай такі, що Сукупність усіх дійсних чисел які задовільняють нерівностям називають відрізком (сегментом) й позначають символом Числа та називають відповідно лівим й правим кінцями відрізка. Сукупність усіх дійсних чисел що задовільняють нерівностям називають інтервалом із лівим кінцем та правим кінцем й позначають
Сукупість дійсних чисел що задовільняють нерівностям та називають напівінтервалами (напівсегментами, променями) й позначають відповідно та Відрізки, інтервали й напівінтервали називають проміжками.
Кожний інтервал містить раціональне число. Справді, нехай тоді за аксіомою архімеда існує натуральне число таке, що Існує таке натуральне число що Відповідно, Серед цілих чисел існує таке число що тобто З нерівностей слідує, що тобто та, відповідно, Таким чином, тобто
Зі сказаного слідує, що у інтервалі міститься нескінченна чисельність раціональних чисел.
Модуль дійсного числа Модуль дійсного числа - саме це число для якого справджуються наступні умови:
Наприклад,