У фізиці й математиці, в галузі динамічних систем, подвійний маятник це маятник з іншим маятником, прикріпленим до його кінця; проста фізична система, яка проявляє різноманітну динамічну поведінку зі значною залежністю від початкових умов.Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038 Рух маятника керується пов'язаними звичайними диференціальними рівняннями. Для деяких енергій його рух є хаотичним.
Аналіз Можна розглядати декілька варіантів подвійних маятників; дві ланки можуть бути однакові чи різні завдовжки та за масою, вони можуть бути простими маятниками або фізичними маятниками і рух може відбуватися в трьох вимірах або бути обмеженим вертикальною площиною. В подальшому аналізі ланками є однакові фізичні маятники довжини і маси , іх рух обмежено двома вимірами.
У фізичного маятника маса розподілена вздовж усієї його довжини. Якщо маса розподілена рівномірно, то центр мас кожної ланки збігається з її геометричним центром, і вона відносно цієї точки момент інерції .
Для системи, що розглядається, з двома ступенями вільності зручно використовувати як узагальнені координати кути між кожною ланкою і низхідною вертикаллю. Вони визначають точку на конфігураційному просторі системи — двовимірному торі. Якщо за початок координат декартової системи координат взяти точку підвішування першого маятника, то центр мас цього маятника перебуває в точці з координатами:
і центр мас другого в
Цієї інформації достатньо, щоб записати лагранжіан і за його допомогою вивести рівняння Лагранжа, які описують рух.
Лагранжіан Лагранжіан є різницею між кінетичною енергією і потенціальною енергією:
Перший доданок це лінійна кінетична енергія центра мас тіл і другий доданок це обертова кінетична енергія центрів мас кожної ланки. Останній доданок це потенціальна енергія тіл в однорідному гравітаційному полі.
Підставляючи координати і перегруповуючи члени рівняння маємо
Тут відбувається збереження лише однієї величини (енергії), і не збережений узагальнений імпульс. Два імпульси можна записати як
Після перетворення цих виразів маємо:
Зрештою, рівняння руху, як рівняння Ейлера — Лагранжа, можна записати так:
Останні чотири рівняння є явними формулами для часової еволюції системи із заданим поточним станом.
В загальному випадку ці ці рівняння неможливо інтегрувати аналітично,Буров А. А. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о тяжелом двузвенном плоском маятнике // Прикладная математика и механика. Том 50. Вып.1. С.168-171 = A.A. Burov On the non-existence of a supplementary integral in the problem of a heavy two-link plane pendulum //Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Volume 50, Issue 1, 1986, Pages 123—125Dullin, H.R. Melnikov's method applied to the double pendulum. Z. Physik B — Condensed Matter 93, 521—528 (1994). щоб отримати формули для θ1 і θ2 як функції від часу. Однак, можна виконати чисельне інтегрування використовуючи метод Рунге — Кутти або подібну техніку, щоб спостерігати динаміку подвійного маятника.
Примітки