Теорема де Гуа — одне з узагальнень теореми Піфагора на старші розмірності. Висічемо з куба піраміду, відрізавши площиною одну з його вершин. Тоді для такої піраміди вірно наступне співвідношення: квадрат площі грані протилежної вершині куба (вершині при прямому куті) дорівнює сумі квадратів площ граней прилеглих до цього кута.
Іншими словами, якщо ми замінимо плоский прямий кут тривимірним, відрізки — гранями, а трикутник — пірамідою, то теорема знову виявиться вірною, але не для довжини сторін, а для площ граней отриманої піраміди. Існує узагальнення цієї теореми для N-вимірного простору.
Історія У 1783 році теорема була опублікована за авторством Жана Поля де Гуа (1713-85), але приблизно в той же час, трохи більш загальне твердження було опубліковано іншим французьким математиком Tinseau d'Amondans (1746–1818). Однак ще раніше вона була відома Рене Декарту (1596–1650) і до нього (1580–1635), який, ймовірно, першим відкрив її у 1622 роціHans-Bert Knoop: Ausgewählte Kapitel zur Geschichte der Mathematik. Lecture Notes (University of Düsseldorf), p. 55 (§ 4 Pythagoreische n-Tupel, p. 50-65 ) (German).
Доведення теореми Доведення 1
Доведення 2
Доведення 3 Теорема може бути доведена з формули Герона для площі трикутника і теореми Піфагора.
Узагальнення Теорема Піфагора і теорема де Гуа є окремим випадком для (n = 2, 3) більш загальної теореми стосовно n-симплексів з прямокутним кутом. Це, в свою чергу, є окремим випадком ще більш загальної теореми, яка може бути сформульована наступним чином.Theorem 9 of James G. Dowty (2014). Volumes of logistic regression models with applications to model selection. arXiv:1408.0881v3 [math.ST]
Нехай P є k-вимірною площиною в (так, що ) і нехай C є компактною підмножиною P. Для будь-якої підмножини з точно k елементами, нехай буде ортогональною проєкцією C на лінійну оболонку векторів , де і утворюють стандартний базис в . Тоді
де — це k-вимірний об'єм C і сума береться по всім підмножинам з рівно k елементами.
Власно кажучи, це є передгільбертовою версією теореми Піфагора, застосованою до k-го зовнішнього ступеня n-вимірного Евклідову простору. Теорема де Гуа та ці узагальнення на n-симплекси з прямими кутами відповідають спеціальному випадку, коли k = n−1 та C є (n−1)-симплекс в з вершинами на координатних осях.
Див. також Піфагорова четвірка
Примітки
Література - доведення теореми де Гуа й узагальнення на довільні тетраедри та піраміди.
Посилання
Sergio A. Alvarez: Нотатки про n-мірну теорему Піфагора , Carnegie Mellon University. Теорема Де Гуа та теорема Піфагора у 3-D — графічні ілюстрації та пов'язані властивості тетраедра.