У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила).

Цілі навчання:

Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. Вміти описувати рух у різних системах відліку. Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю . Припустимо, що опору повітря немає. Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…

більшою за . рівною . меншою за . у зворотному напрямку.

Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати положення частинки як функцію часу, яку будемо позначити . Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо:

ми вказуємо вісь і напрямок, який відповідає збільшенню значень вказуємо точку відліку, де вказуємо одиниці вимірювання .

Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном.

Розглянемо Зображення 3.1, де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де , і за домовленістю, ми обираємо виражати в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини).

Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі та розташування початку відліку. Вісь є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь , ми маємо обрати найзручніший для нас варіант.

Рух з постійною швидкістю

Тепер припустимо, що м’яч на Зображенні 3.1 котиться, і ми записували його позицію кожну секунду та отримали значення в Таблиці 3.1 (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними).

+ Таблиця 3.1. Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. Час [s] X-позиція [m] 0.0 s 0.5 m 1.0 s 1.0 m 2.0 s 1.5 m 3.0 s 2.0 m 4.0 s 2.5 m 5.0 s 3.0 m 6.0 s 3.5 m 7.0 s 4.0 m 8.0 s 4.5 m 9.0 s 5.0 m Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на Зображенні 3.2. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта.

Дані на Зображенні 3.2 показують, що позиція м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент ; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні .

Використовуючи дані з Таблиці 3.1 визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час , якщо він продовжить незмінний рух?

5.0 m 5.25 m 5.75 m 6.0 m

Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на Зображенні 3.2, є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, , замість запису табличних значень, як ми це зробили у Таблиці 3.1. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: Константа є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при . Ми називаємо «початковим положенням» об’єкта (його положенням при ). Константа є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо «швидкістю» об’єкта.

Початкове положення — це просто значення положення в момент , й надане таблицею як:

Швидкість, , є просто різницею в положенні, , між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, , потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка до пройденого часу ):

Розглядаючи будь-які два рядки з Таблиці, ми бачимо, що об’єкт долає відстань за час . Тому його швидкість становить: Таким чином, положення об’єкта як функція часу

Якщо швидкість велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку . Швидкість («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу.

Розглядаючи Зображення 3.3, що ви можете сказати про рух об’єкта?

Об’єкт рухався швидше і швидше між і , потім сповільнився до зупинки у . Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між і , а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між і . Об’єкт рухався швидше між і , ніж між і . Розглядаючи Зображення 3.4., що ви можете сказати про рух двох об’єктів?

Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2

Рух з постійним прискоренням

Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу . Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде прискорюватися протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним).

Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, , постійна, позиція як функція часу задається виразом:

За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається:

де - «прискорення», а - швидкість об’єкта у момент . Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо і , нам потрібно, щоб мало розмірність швидкості:

Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє рівняння, оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна.

У секції 1.3.2 ми покажемо, що положення як функція часу, , об’єкта з постійним прискоренням, , задається формулою: де при об’єкт знаходився у положенні та мав швидкість .

М’яч кидається вгору зі швидкістю . За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад? Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз .

Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками:

Визначимо систему координат (вісь x). Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. Визначимо відстань, на якій настав цей стан.

Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в рівнянні, маємо: де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, , знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним).

Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати рівняння, аби дізнатися, якому часу це відповідає: Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз.

Візуалізація руху з постійним прискоренням

Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. Зображення 3.5 показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з Прикладу в перші три секунди руху.

Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на Зображенні 3.5):

1) Між і

В момент часу , м’яч починає в положенні (лівий графік) і має швидкість (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при , як показано у прикладі. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння).

2) Між і

При швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після , поки м’яч повертається назад до початкової точки. У м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз).

3) Після

Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним.

Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на Зображенні 3.5.

Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює .

Використання математичного аналізу для опису руху

Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, , швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо наближається до нуля, цей опис буде точним.

Миттєва та середня швидкість

Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань за проміжок часу . Ми можемо визначити середню швидкість, : Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу , ми завжди можемо обчислити середню швидкість , об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю , ми можемо визначити миттєву швидкість: Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали та . Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість , є нахилом графіка . Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у , поділена на відповідну зміну у . Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу (рівняння) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: Якщо ми повернемося до Зображення 3.5, де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу , відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу . Для , нахил Графіка є додатним, але зменшується (як і ). При , нахил миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для нахил є від’ємним і зростає за величиною, як і .