У лінійній алгебрі, матрицею Гільберта (була введена Давидом Гільбертом у 1894) називається квадратна матриця H з елементами:
Наприклад, матриця Гільберта 5 × 5 має вигляд:
На матрицю Гільберта можна подивитися як на матрицю, отриману з інтегралів:
тобто, як на матрицю Грама для степенів x. Вона виникає при апроксимації функцій поліномами методом найменших квадратів.
Матриця Гільберта є стандартним прикладом погано обумовлених матриць, що робить їх незручними для обчислення з допомогою обчислювально нестійких методів. Наприклад, число обумовленості відносно — норми для матриці, що наведена вище, дорівнює 4.8 · 105.
Історія Гільберт (1894) ввів матрицю Гільберта при вивченні наступного питання: «Нехай — дійсний інтервал. Чи можливо тоді знайти ненульовий поліном P з цілочисельними коефіціентами такий, що інтеграл
був би не менше будь-якого заданого числа ε > 0?» Для відповіді на дане питання Гільберт вивів точну формулу для визначника матриці Гільберта та дослідив її асимптотику. Він зробив висновок, що відповідь позитивна, якщо довжина інтервалу менше ніж 4.
Властивості
Матриця Гільберта є симетричною додатно визначеною матрицею. Більш того, матриця Гільберта є цілком додатньою матрицею.
Матриця Гільберта є прикладом ганкелевої матриці.
Визначник матриці Гільберта може бути виражений в явному вигляді, як окремий випадок визначника Коши. Визначник матриці Гільберта n × n дорівнює
де
Вже Гільберт помітив цікавий факт, що визначник матриці Гільберта — це зворотнє ціле число (див. послідовність ). Цей факт випливає з рівності
Користуючись формулою Стірлінга можна встановити наступний асимптотичний результат:
де an сходиться до константи при , де A — постійна Глейшера-Кінкелина.
Матриця, зворотня до матриці Гільберта, може бути виражена у явному вигляді через біноміальні коефіцієнти:
де n — порядок матриці. Таким чином, елементи зворотньої матриці — цілі числа.
Число обумовленості матриці Гільберта n × n зростає як .
Вклад Давида Гільберта в науку Простори: Гільбертів простір, Передгільбертів простір, Гільбертів куб Аксіоматика: Аксіоматика Гільберта Теореми: Теорема Гільберта 90, Теорема Гільберта про базис, Теорема Гільберта про нулі, Оператори: Перетворення Гільберта, оператор Гільберта — Шмідта Загальна теорія відносності: Рівняння Ейнштейна-Гільберта Інше: Проблеми Гільберта, Крива Гільберта, Матриця Гільберта, , Функція Гільберта, Парадокс Гільберта
Посилання . Передруковано в