Грань (у стереометрії) — плоска поверхня, яка є частиною межі геометричного тіла; плоскі багатокутники, які обмежують многогранник, називаються його гранями.

Також гранями називаються дві півплощини, які утворюють двогранний кут.

Багатокутні грані Отже, в елементарній геометрії основне визначення: грані — плоскі (двовимірні) багатокутники, які обмежують многогранник. Іншою назвою для багатокутної грані є сторона багатокутника. В багатьох слов'янських мовах грань — стінка (стіна): , , , . Близьким поняттям до грані є плитка — елемент теселяції на евклідовій площині.

+ Приклади правильних граней і плитокКуб має 3 квадратні грані при вершині.Малий зірчастий додекаедр) має 5 пентаграмних граней при вершині. Можна розглядати також трикутні грані.Квадратне замощування в евклідовій площині має 4 грані (плитки) при вершині. гіперболічної площини має 5 квадратних граней (плиток) при вершині. Тесеракт має 3 квадратні грані при ребрі.

Кількість багатокутних граней многогранника Поверхня будь-якого опуклого многогранника має ейлерову характеристику

де V — кількість вершин, E — кількість ребер, F — кількість граней. Це рівняння відоме як формула многогранника Ейлера. Отже, кількість граней на 2 більша, ніж різниця кількості ребер та кількості вершин. Наприклад, у куба 12 ребер та 8 вершин, а отже, 6 граней.

k-вимірна грань У багатовимірній геометрії грані політопа є елементами всіх вимірів. Грань розмірності k називають k-вимірною гранню. Наприклад, багатокутні грані звичайного многогранника є двовимірними гранями. В теорії множин набір граней многогранника включає сам многогранник і порожню множину, де остання, для узгодженості, має «розмірність» -1. Для будь-якого політопа (n-вимірного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.

Наприклад, у цьому значенні грані куба включають сам куб (3-вимірна грань), його грані (квадратні, 2-вимірні), ребра (лінійні, 1-вимірні грані), вершини (точкові, 0-вимірні грані) і порожню множину. Нижче перелічено грані 4-політопа:

4-вимірна грань — сам 4-політоп; 3-вимірні грані — 3-вимірні комірки (многогранники); 2-вимірні грані — 2-вимірні ребра (многокутники); 1-вимірні грані — 1-вимірні ребра; 0-вимірні грані — 0-вимірні вершини; порожня множина, що має розмірність −1.

У деяких галузях математики, таких як комбінаторика многогранників, многогранник за визначенням опуклий. Формально грань многогранника P є перетин P з будь-яким замкнутим півпростором, межа якого не перетинається зі внутрішньою частиною P. and use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting P with either a hyperplane disjoint from the interior of P or the whole space. З цього визначення випливає, що множина граней многогранника включає сам многогранник і порожню множину.

В інших галузях математики, таких як теорії абстрактних многогранників та зірчастих многогранників, вимогу опуклості ослаблено. Абстрактна теорія, як і раніше, вимагає, щоб множина граней включала сам політоп і порожню множину.

Комірка або 3-грань Комірка — багатогранний елемент (тривимірна грань або 3-грань) 4-вимірного многогранника або 3-вимірної мозаїки або фігури вищої розмірності. Комірки є гранями для 4-політопів і тривимірних мозаїк.

+Стандартні приклади за символом Шлефлі чотиривимірні політопи 3-вимірні мозаїки {4,3,3} {5,3,3} {4,3,4} {5,3,4} Тесеракт має 3 кубічні комірки на ребро. 120-комірник має 3 додекаедричні комірки на ребро. Кубічний стільник заповнює евклідів 3-вимірний простір кубами з 4 комірками на кожному ребрі. Додекаедричний стільник порядку 4 заповнює тривимірний гіперболічний простір додекаедрами, по 4 комірки на ребро.

Фасета або (n−1)-вимірна грань

У багатовимірній геометрії фасетами (або гіпергранями)N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225 n-вимірного політопа є (n−1)-грані (грані розмірності на одиницю меншої, ніж сам політоп)., p. 87; , p. 27; , p. 17. Політоп обмежений своїми гранями.

Наприклад:

фасетами відрізка є його 0-вимірні грані — вершини; фасетами многокутника є його 1-вимірні грані або ребра; фасетами многогранника або паркету є їхні 2-вимірні грані; гранами чотиривимірного многогранника або тривимірного стільника є їхні 3-вимірні грані або комірки. гранями або 4-вимірної мозаїки є їхні 4-вимірні грані.

Виноски Коментарі

Примітки

Джерела Погорєлов О. В. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10—11 кл. серед. шк.,— 6-те вид,— К.: Освіта, 2001.— 128 с. — ISBN 966-04-0334-8.