Субфакторіал числа n (позначається як !n) — кількість інверсій порядку n, — перестановок порядку n без нерухомих точок. Назва субфакторіал походить від аналогії з факторіалом, який визначає загальну кількість перестановок.
Зокрема, !n є число способів покласти n листів в n конвертів (по одному в кожен) так, щоб жодний лист не потрапив у відповідний конверт (так звана «задача про листи»).
Явна формула Субфакторіал можна обчислити за допомогою принципу включення-виключення:
Інші формули , де позначає неповну гамма-функцію, a e — математична константа; , де позначає найближче до x ціле число; де позначає цілу частину числа. Справедливі формальні тотожності: та , де треба розуміти як , а — як .
Таблиця значень
!1 = 0 !2 = 1 !3 = 2 !4 = 9 !5 = 44 !6 = 265 !7 = 1 854 !8 = 14 833 !9 = 133 496 !10 = 1 334 961 !11 = 14 684 570 !12 = 176 214 841 !13 = 2 290 792 932 !14 = 32 071 101 049 !15 = 481 066 515 734 !16 = 7 697 064 251 745 !17 = 130 850 092 279 664 !18 = 2 355 301 661 033 953 !19 = 44 750 731 559 645 106 !20 = 895 014 631 192 902 121 !21 = 18 795 307 255 050 944 540
Властивості (такі ж властивості притаманні і факторіалу): де і . Початкові члени послідовності : 1, 1, 3, 11, 53, 309, 2119, … () Число 148349 є субфакторіоном, тобто дорівнює сумі субфакторіалів своїх цифр (аналог факторіона): (знайдене J. S. Madachy, 1979) Субфакторіал іноді допускається в математичних іграх типу отримання різних результатів з певних цифр (наприклад, відома гра «Чотири четвірки», де рівність !4 = 9 може принести користь).
Посилання
John C. Baez. Let's get deranged!, December 14, 2003