Фо́рмула Ньюто́на — Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.
Нехай функція неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна , тоді визначений інтеграл від функції можна обчислити за формулою:
Ця формула називається формулою Ньютона — Лейбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:
.
Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. У таких випадках користуються чисельними методами обчислення визначених інтегралів.
Формальні твердження Існує дві частини теореми. Перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.
Перша частина Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.
Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через . Тоді F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому проміжку і
для всіх x з (a, b).
Наслідок Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтеграла функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значною неперервною функцією на і F її первісна f у тоді
.
Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.
Друга частина
Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення або формула Ньютона — Лейбніца ().
Нехай f і F будуть дійсно-значними функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з
Якщо f є інтегровною за Ріманом на тоді
Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.
Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.
Доведення першої частини Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як .
Для двох довільних чисел x1 і x1 + Δx з [a, b], маємо
і .
Відніманням отримуємо
Можна показати, що
(Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.) Отже
Підставляємо попереднє в (1), що дає
Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число з [x1, x1 + Δx] таке, що
Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість , але читач має усвідомлювати, що c залежить від . Підставляючи попереднє у (2) отримуємо
Ділення на Δx дає
Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x1.
Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.
Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x1.
Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежить у проміжку [x1, x1 + Δx], отже x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.
Також, and
Тому, відповідно до стискної теореми,
Підставляємо в (3) і отримуємо
Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо
Що завершує доведення.
(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 )
Доведення наслідку Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на Нехай
.
З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що , для всіх x з Поклавши , маємо
що значить Інакше кажучи, , і отже
Доведення другої частини Доведення через суми Рімана.
Нехай f інтегровна за Ріманом на відрізку і нехай f має первісну F на Почнемо з величини . Нехай існують числа x1, …, xn такі, що
З цього слідує
Тепер додамо кожне F(xi) разом зі зворотним до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:
Попереднє можна записати як таку суму:
Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)
Нехай F є неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що
З цього випливає, що
Функція F диференційовна на отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків . Згідно з теоремою Лагранжа,
Підставляючи попереднє в (1), отримуємо
Припущення означає Також, може бути виражено як відтинку .
Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтеграла кривої.
З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше , прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтеграла Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.
Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо
Ані F(b), ні F(a) не є залежними від , тому границя зліва залишається
Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо
що й завершує доведення.
Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, . Тепер, припустимо . Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси . Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми. Наприклад, якщо тоді f має первісну, а саме
і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись Функція Вольтерра).
Приклади Задля прикладу обчислимо таке:
Тут, і ми можемо використати як первісну. Звідси
Або, загальніше, обчислимо
. Тут, і можна використати як первісну. Отже,
Або, тотожно,
Див. також Інтегральне числення
Примітки
Джерела