У геометрії кулі Данделена — це одна або дві кулі, які є дотичними (які торкаються) як до площини, так і до конуса, який перетинає цю площину. Перетин конуса і площини — є конічним перерізом, і точка, в якій будь-яка куля є дотичною до площини, є фокусом конічного перерізу. Таким чином, кулі Данделена також іноді називають центральними кулямиTaylor, Charles. An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, page 196 («focal spheres») , pages 204—205 (history of discovery) (Deighton, Bell and co., 1881)..

У 1822 були винайдені кулі Данделена. Їх називають на честь бельгійського математика , хоча Адольф Кетле також вніс свій внесок.Kendig, Keith. Conics, page 86 (proof for ellipse) and page 141 (for hyperbola) (Cambridge University Press, 2005). Кулі Данделена можуть використовуватися, щоб довести принаймні дві важливі теореми. Обидві з тих теорем були відомі протягом багатьох століть перед Данделеном, але він спростив їх доведення.

Перша теорема (теорема Данделена-Кетле) — стверджує, що замкнений конічний переріз (тобто еліпс) є геометричним місцем точок, розташованих таким чином, що сума відстаней до двох фокусних точок постійна. Це було відомо давньогрецьким математикам, таким як Аполлоній Перзький, але використання сфер Данделена полегшує доказ.

Друга теорема — про те, що для будь-якого конічного перерізу відстань від фіксованої точки (центра) пропорційна відстані від фіксованої прямої лінії (директриси) з константою пропорційності, яка називається оригінальністю. Знову, ця теорема була відома давнім грекам, таким як Паппус Олександрії, але використання куль Данделена полегшує доказHeath, Thomas. A History of Greek Mathematics, page 119 (focus-directrix property) , page 542 (sum of distances to foci property) (Clarendon Press, 1921)..

Для конічного перерізу існує одна куля Данделена для кожного фокусу. Зокрема в еліпса є дві кулі Данделена, обидві торкаються того ж самого покриву конуса. У гіперболи є дві кулі Данделена, які торкаються протилежних покривів конуса. У параболи є всього одна куля Данделена, оскільки парабола має один фокус.

Доказ того, що крива має сталу суму відстаней до двох фокусів

На наведеній ілюстрації площина перерізає конус таким чином, що утворюється еліпс (область в середині еліпса забарвлена в блакитне). Показано дві кулі Данделена, де одна куля (G1) знаходиться вище еліпса, а друга (G2) — нижче. Перетин кожної сфери з конусом — коло (пофарбований у біле).

Кожна сфера торкається площини в одній точці, позначимо ці точки F1 і F2. Припустимо, Р — точка на еліпсі.

Доведіть: сума відстаней d(F1, P) + d(F2, P) залишається постійною, оскільки пункт P проходить через криву.

Лінія, що проходить через P і вершину S конуса, перетинає ці два кола в пунктах P1 і P2.

Оскільки P перетинає еліпс, P1 і P2 проходять ці два кола.

Відстань від F2 до P збігається з відстанню від P1 до P, бо лінії PF1 і PP1 є тангенсом до тієї ж самої кулі (G1).

Аналогічно, відстань від F2 до P збігається з відстанню від P2 до P, бо лінії PF2 і PP2 є дотичними до тієї ж самої кулі (G2).

Отже, сума відстаней d(F1, P) + d(F2, P) повинна бути постійною, оскільки P проходить через криву, бо сума відстаней d(P1, P) + d(P2, P) також залишається постійною.

Це випливає з факту, що P знаходиться на прямій лінії від P1 до P2, і відстань від P1 до P2 залишається постійною.

Це доводить результат, який був доведений способом Аполлонія Перзького

Якщо (як часто робиться) визначити еліпс як місце розташування точок P таке, що d(F1, P) + d(F2, P) = константа, то викладене вище доводить, що перерізом площини з конусом дійсно є еліпс.

Адаптація цього аргументу працює на гіперболі й параболі як перерізі площини з конусом. Інша адаптація еліпса — перерізу площини з правильним круглим циліндром.

Доказ властивості центру-директриси Директриса конічного перерізу може бути знайдена з використанням куль Данделена. Кожна куля Данделена торкається конуса у колі; дозвольте обом з цих кіл визначити свої власні площини перерізу цих двох паралельних площин з площиною конічного перерізу, вони будуть двома паралельними лініями; ці лінії — директриси конічного перерізу. Однак парабола має тільки одну кулю Данделена, і таким чином має тільки одну директрисуBrannan, A. et al. Geometry, page 19 (Cambridge University Press, 1999)..

Використовуючи кулі Данделена, можна довести, що будь-який конічний переріз — місце розташування точок, для яких відстань від фокуса пропорційна відстані від директриси. Давньогрецькі математики, такі як Папп Александрійський знали про ці властивості, але використання куль Данделена полегшують доказ.

Ні Данделен, ні Кетле не використали сфери Данделена для доведення властивості центру — директриси. Ця властивість важлива для доказу першого закону Кеплера: орбіти астрономічних об'єктів навколо Сонця є конічними перерізамиHyman, Andrew. «A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion», European Journal of Physics, Vol. 14, page 145 (1993)..

Примітки

Посилання Dandelin Spheres