Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа та будь-якого цілого числа виконується рівність:
Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.
Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».
Зв'язок з формулою Ейлера Історично формулу Муавра було доведено раніше за формулу Ейлера:
проте її легко отримати з неї. Згідно із законом піднесення до цілого степеняЯкщо — неціле число, то — багатозначна функція змінної , і є лише одним з її значень.:
далі по формулі Ейлера:
Доведення по індукції Слушність формули Муавра може бути доведена для натуральних чисел за допомогою математичної індукції, а потім поширена на всю множину цілих чисел. Позначимо як таке твердження ( — ціле):
Вочевидь певне, оскільки при твердження обертається на тотожність. Припустимо, що певне для будь-якого натурального :
Розглянемо :
Дивіться Формули для суми аргументів тригонометричних функцій.
Отже, ми довели, що в разі певності також певне . Зважаючи на певність , згідно принципу математичної індукції приходимо до висновку, що твердження певне для всіх натуральних чисел. Далі, вочевидь також певне, оскільки . Насамкінець, в разі негативного показника , розглядатимемо степінь як обернену величину степеня з натуральним показником :
Рівність (*) є результатом тотожності:
де .
Отже, певне для всієї множини цілих чисел .
Обчислення коренів n ступеня Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:
де .
З основної теореми алгебри випливає, що корені -го ступеня з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює . На комплексній площині, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписаний у коло радіусу з центром у нулі.
При з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень тригонометричних функцій з кратним аргументом.
Див. також Формула Ейлера
Примітки
Література