В опуклому аналізі, невід'ємна функція є логарифмічно угнутою (або лог-угнутою) якщо її область визначення є опуклою множиною, і якщо вона задовольняє нерівність
для всіх і . Якщо — строго додатна, це те саме, що сказати, що логарифм функції, , є угнутим; тобто,
для всіх і .
Прикладом лог-угнутих функцій є 0-1 індикаторні функції опуклих множин і функція Гауса.
Подібно, функція є лог-опуклою якщо вона задовольняє зворотній нерівності
для всіх і .
Властивості Лог-угнута функція, також є квазіугнутою. Це випливає з того факту, що логарифм є монотонною функцією, це означає, що його надрівневі множини () є опуклими. Кожна угнута функція, яка є невід'мною на її області визначення є лог-угнутою. Однак, зворотнє твердження не завжди виконується. Прикладом може служити функція Гауса = , яка є лог-угнутою, оскільки = є угнутою функцією від . Але не є угнутою оскільки друга похідна є додатною для || > 1:
З двох попередніх пунктів, угнутість лог-угнутість квазіугнутість. Двічі диференційовна, невід'ємна функція з опуклою областю визначення є лог-угнутою тоді і тільки тоді, коли для всіх , що задовольняють ,
,Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF) Section 3.5
тобто
є
від'ємно визначеною. Для функції однією змінної, ця умова спрощується до
Операції, що зберігають лог-угнутість
Добуток лог-угнутих функцій також є лог-угнутою функцією. І справді, якщо і є лог-угнутими функціями, тоді і є угнутими за визначенням. Отже,
є угнутою, і звідси є лог-угнутою.
Відособлені розподіли: якщо : є лог-угнутою, тоді
є лог-угнутою.
З цього випливає, що згортка зберігає лог-угнутість, оскільки = є лог-угнутою якщо і — лог-угнутими, і тому
є лог-угнутою.
Примітки