П'ятикомірникДіаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) п'ятикомірника в тривимірний простірТипПравильний чотиривимірний політопСимвол Шлефлі{3,3,3}Комірок5Граней10Ребер10Вершин5Вершинна фігураПравильний тетраедрДвоїстий політопВін же (самодвоїстий)
П'ятикомірник, або пентахор (від — «п'ять» і — «місце, простір»), — один з правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі: правильний чотиривимірний симплекс.
Відкритий Людвігом Шлефлі в середині 1850-х років. Символ Шлефлі п'ятикомірника — {3,3,3}.
Є двоїстим сам собі. На відміну від п'яти інших правильних багатокомірників, не має центральної симетрії.
Використовується у фізико-хімічному аналізі для вивчення властивостей багатокомпонентних систем.
Опис Обмежений 5 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Будь-які дві комірки — суміжні; кут між ними дорівнює
Його 10 двовимірних граней — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.
Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані й по 3 комірки.
Має 5 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 комірки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь-які 3 вершини належать одній грані; будь-які 4 вершини належать одній комірці.
П'ятикомірник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з тетраедричною основою.
У координатах
Перший спосіб розташування П'ятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати
При цьому точка буде центром вписаної, описаної і піввписаної тривимірних гіперсфер.
Другий спосіб розташування У п'ятивимірному просторі можливо розмістити п'ятикомірник так, щоб усі його вершини мали цілі координати:
Центром вписаної, описаної і напіввписаної гіперсфер при цьому буде точка .
Ортогональні проєкції на площину
Метричні характеристики Якщо п'ятикомірник має ребро довжини то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як
Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому буде дорівнює
радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) —
радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх граней у їхніх центрах) —
радіус вписаної гіперсфери (дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) —
Неправильні п'ятикомірники Іноді словом «п'ятикомірник» може позначатися не тільки правильний, але й довільний чотиривимірний симплекс.
Примітки
Посилання