Умова Гельдера — нерівність, що обмежує зміну значення функції через зміну її аргумента. Є узагальненням умови Ліпшіца. Функції, що задовольняють умови Гельдера утворюють повний нормований простір, що називається простором Гельдера. Простори Гельдера відіграють важливу роль в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Означення
Нехай et є метричними просторами, функція називається -гельдеровою в точці якщо для всіх виконується умова Гельдера:
Число є дійсним невід'ємним, переважно розглядаються випадки У випадку умова Гельдера зводиться до умови Ліпшіца.
Якщо функція задовольняє умову Гельдера з коефіцієнтом в усіх точках деякої підмножини метричного простору то її називають -гельдеровою на всій множині. Часто проте при визначенні гельдерових функцій на деякій множині розглядають лише функції для яких тобто для яких умову Гельдера можна записати з одною константою для всіх точок:
Особливо важливим є випадок дійсних чи комплексних функцій на підмножинах евклідового простору. В цьому випадку наприклад остання рівномірна умова Гельдера записується як:
Простори Гельдера На множині дійсних чи комплексних функцій визначених на підмножині евклідового простору, що задовольняють (рівномірну) умову Гельдера можна ввести -напівнорму Гельдера:
Множина функцій, що мають на відкритій підмножині неперервні похідні до порядку k включно і всі похідні порядку k яких є -гельдеровими на позначається
Ці множини називаються просторами Гельдера.
Кожна функція, що належить також належить — простору функцій, що мають неперервні похідні до порядку k включно. На визначається норма:
де — мультиіндекс, і
Тоді на просторах Гельдера можна ввести ще одну норму:
Разом із цією нормою простори Гельдера на замиканні зв'язаної обмеженої множини в евклідовому просторі є повними нормованими просторами.
Властивості Нехай — замикання деякої обмеженої зв'язаної області в евклідовому просторі. Якщо то існує вкладення просторів Гельдера:
і окрім того де константа A не залежить від функції
Для одинична куля в просторі є компактною в просторі і відповідно кожна обмежена множина функцій з містить підпослідовність, що в метриці простору збігається до функції з простору .
Приклади Функція f(x) = xβ (де β ≤ 1) визначена на проміжку [0, 1] належить простору C0,α для 0 < α ≤ β, але не для α > β. Якщо f визначити аналогічно на проміжку , вона належатиме простору C0,α лише для α = β. Для α > 1, єдиними рівномірно α–гельдерівськими функціями на інтервалі [0, 1] є константи. Функція визначена на інтервалі [0, 1/2] як є рівномірно неперервною але не задовольняє умову Гельдера для жодного показника. Функція Кантора задовольняє умову Гельдера для показників α ≤ log(2)/log(3) і не задовольняє для більших чисел. Коли вона задовольняє умову то у визначенні можна взяти рівномірно константу C = 2. Крива Пеано з [0, 1] на квадрат [0, 1]2 може бути побудована так, що вона буде рівномірно 1/2–гельдерівською.
Див. також Ліпшицеве відображення
Література