КлинВластивостіОпуклийЕлементи 6 граней 9 ребер6 вершин (3-го степеня)Характеристика ЕйлераГрані 2 трикутники 3 трапеції
Клин у геометрії () — це опуклий багатогранник, що складається з п'яти граней: двох трикутників і трьох трапецій . Клин має 9 ребер і 6 вершин. Верхнє ребро клину паралельне основі.
Клин є підкласом призматоїдів, якщо розглядати верхнє ребро як вироджену грань (у призматоїдів дві грані є паралельними).
Порівняння з іншими багатогранниками: Якщо одна грань паралелепіпеда вироджується у відрізок, отримається клин. Піраміда, основа якої — трапеція (зокрема і паралелогам, прямокутник, квадрат) є клином, в якому одне з ребер вироджене в точку. Клин можна розглядати як трикутну зрізану призму. Трикутна призма є окремим випадком клина з двома паралельними трикутними гранями.
Часткові випадки Вид клинаГраніЗображенняОписПравильний клин (правильногранний клин)3 квадрата2 правильних трикутника клин, всі грані якого — правильні багатокутники, всі ребра — однакової довжини.Багатогранник можна розглядати як правильну трикутну призму.Симетрія: , [3,2], (*223) порядок 12(Діедральна симетрія 3-призми) Має вісь симетрії 3-го порядку та три осі симетрії 2-го порядку; чотири площини симетрії.
Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).Прямий клинОснова: 1 прямокутник Бокові грані: 2 прямокутника, 2 рівнобедрених трикутника клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані прямокутники та рівнобедрені трикутники.Трикутні грані перпендикулярні до основи.Багатогранник можна розглядати як пряму трикутну призму з основою- рівнобедрений трикутник.Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і прямокутника).Скошений прямий клинОснова: 1 прямокутник Бокові грані: 2 рівнобедрених трапеції, 2 рівнобедрених трикутника клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані рівнобедрені трапеції та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані однаково нахилені до основи.Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії.
Формули
Об'єм довільного клина можна обрахувати за фомулою об'єма для двічі скошеної прямої трикутної призми :
де , , — довжини паралельних ребер клина. — площа перерізу, перпендикулярного до цих ребер.
Для скошеного прямого клина справедливі формули:
Об'єм: (формула справедлива для будь-якого клина з прямокутною основою.) Площа поверхні:
Центр тяжіння лежить на осі клина на відстані від його основи.
тут , — довжини ребер прямокутної грані клина. — довжина верхнього (апексного) ребра, паралельного основі. — висота, відстань від верхнього ребра клина до його основи.
Для прямого клина (при ) формули спрощуються до:
,
,
Приклади Клини можна отримати розрізанням інших багатогранників. Наприклад, додекаедр можна розбити на центральный куб і 6 прямих клинів з квадратною основою, що покривають грані куба. Орієнтації клинів обираються так, що трикутні і трапецевидні грані сполучаються й утворюють правильні п'ятикутники.
Два тупих клини можна отримати при розрізанні навпіл правильного тетраедра площиною, яка є паралельною до двох протилежних сторін.
+ Особливі випадкиТрикутна призма(Паралельний трикутний клин)Тупокутний клин як зрізаний наполовину правильний тетраедрКлин, побудований з 8-ми трикутних граней і 2-х квадратів. Його можна розглядати як тетраедр, нарощений двома квадратними пірамідами.Додекаедр можна роскласти на центральний куб і 6 клинів на його 6-ти квадратних гранях.
Пов'язані багатогранники
Обеліск (Зрізаний прямий клин)– багатогранник у якого нижня та верхня основи є прямокутниками, розташованими в паралельних площинах; протилежні бічні грані (конгруентні рівнобедрені трапеції) однаково нахилені до основи, але не перетинаються.
Об'єм багатогранника можна обрахувати за формулою:
Джерела
George R. Perkins: Plane and Solid Geometry. Appleton & Co, New York, 1854, S. 115
Примітки