Проєктивна границя (обернена границя) — конструкція, що використовується в різних розділах математики яка дозволяє побудувати новий об'єкт через множину однотипних об'єктів які є проіндексовані деякою напрямленою множиною і набору відображень , . Проєктивні границі є одним із видів границі в теорії категорій. Для проєктивної границі зазвичай використовуються наступні позначення: , .
Проєктивну границю можна визначити в довільній категорії. Двоїсте поняття — індуктивна границя.
Означення
Алгебричні структури Для алгебричних систем можна дати відносно просте означення проєктивної границі. Нехай — частково впорядкована множина (наприклад, множина цілих чисел) і для кожного елемента задана деяка алгебрична система з будь-якого фіксованого класу (наприклад, абелевих груп, модулів над заданим кільцем), а кожній парі , такій що , — гомоморфізм , причому — тотожні відображення для будь-якого і для будь-яких з . Тоді проєктивна границя є за означенням підсистемою прямого добутку виду:
.
Існують канонічні проєкції , які вибирають -у компоненту прямого добутку для кожного . Ці проєкції повинні бути гомоморфізмами, виходячи з цього можна ввести додаткову алгебричну структуру на проєктивній границі.
Загальний випадок
У довільній категорії проєктивну границю можна описати за допомогою її універсальної властивості. Нехай — сімейство об'єктів і морфізмів категорії C, яке задовольняє тим же вимогам, що і в попередньому пункті. Тоді називається проєктивною границею системи , або , якщо виконані наступні умови:
Існує таке сімейство відображень , що для будь-яких ; Для будь-якого сімейства відображень , довільної множини , для якої виконані рівності для будь-яких , існує єдине відображення , для якого , для всіх .
Більш загально, проєктивна границя — границя в категорному сенсі системи .
Приклади Цілі -адичні числа є проєктивною границею послідовності з природними відображеннями виду отримання залишку при . Кільце формальних степеневих рядів над комутативним кільцем є проєктивною границею кілець , індексованих натуральними числами, з природними проєкціями . Множина Кантора є гомеоморфною проєктивній границі добутків двоточкових множин (з дискретною топологією) з проєкціями на перші кілька координат як відображень. В категорії топологічних просторів проєктивні границі задаються ініціальною топологією на відповідній множині-носії.
Див. також Індуктивна границя Залишково скінченна група
Джерела