У лінійній алгебрі і теорії кілець симетрична алгебра — алгебра над полем чи над кільцем, що є певною мірою узагальненням алгебри многочленів. Симетрична алгебра є підалгеброю тензорної алгебри і має багато спільних властивостей із зовнішньою алгеброю.
Означення Якщо — модуль над коммутативно-асоціативним кільцем з одиницею, , де , — тензорна алгебра модуля . Введемо також ідеал виду .
Симетричною алгеброю модуля називається алгебра .
Властивості Симетрична алгебра є комутативною і асоціативною -алгеброю з одиницею. Симетрична алгебра є градуйованою: . де . Зокрема . Модуль називається k-им симетричним степенем модуля . Якщо — вільний модуль із скінченним базисом , то відповідність продовжується до ізоморфізму алгебри і алгебри многочленів . Таким чином симетричну алгебра є узагальненням алгебри многочленів Для будь-якого гомоморфізму A- модулів k-ий тензорний степінь індукує гомоморфізм (k-ий симетричний степінь гомоморфізму ). Ці гомоморфізми разом задають гомоморфізм A-алгебр . Відповідності і є відповідно коваріантними функторами з категорії -модулів в себе і в категорію А-алгебр. Для будь-яких двох A-модулів М і N існує природний ізоморфізм . Якщо — векторний простір над полем характеристики 0, то симетрична алгебра є ізоморфною алгебрі симетричних контраваріантних тензорів (тобто алгебрі полілінійних відображень ) на разом з операцією симетричного множення: Якщо — два контраваріантні тензори відповідних порядків то їх симетричний добуток за означенням задається як
Якщо — векторний простір розмірності n, то розмірність k-ого 'симетричного степеня рівна . Як наслідок розмірність усієї симетричної алгебри є нескінченною, на відміну від випадку зовнішньої алгебри. Симетрична алгебра на векторному просторі є вільним об'єктом категорії комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
Див. також Зовнішня алгебра Кільце многочленів Тензорна алгебра
Посилання
Література
Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes.'' Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3