В комутативній алгебрі глибиною модуля називається одна з важливих характеристик модуля над комутативним кільцем. Особливо важливим є випадок модулів над локальними нетеровими кільцями. Поняття вперше було введено Осландером і Бухсбаумом у 1956 році

Означення Нехай — комутативне кільце Нетер і — скінченнопороджений R-модуль. Послідовність елементів , називається M-регулярною, якщо для всіх елемент не є дільником нуля в модулі

тобто з того, що , де — деякий елемент вказаного модуля, випливає, що .

I-глибина модуля дорівнює довжині найбільшої М-регулярної послідовності, складеної з елементів ідеала . У випадку локального кільця за приймають зазвичай максимальний ідеал і тоді використовується термін глибина модуля .

Еквівалентно I-глибиною модуля називається найменше ціле число , для якого

Для позначення глибини модуля використовують або .

Властивості Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Тоді правильною є нерівність

де в правій частині є розмірність Круля для модуля, що за означенням рівна . Кільця для яких глибина рівна розмірності Круля називаються кільцями Коена — Маколея. Формула Аусландера — Бухсбаума. Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Якщо проективна розмірність модуля є скінченною, то виконується рівність

Справедливою є наступна формула:

де позначає простий ідеал кільця , а розглядається як модуль над локальним кільцем . Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Тоді якщо і тільки якщо є асоційованим простим ідеалом модуля Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Нехай елемент не є дільником нуля для модуля Тоді Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Якщо — поповнення відповідно кільця і модуля по -адичній фільтрації, то . Твердження рівнозначно тому, що модулі локальних когомологій дорівнюють нулю при . Нехай — точна послідовність скінченнопороджених модулів над комутативним нетеровим кільцем і — ідеал кільця, для якого . Тоді: Якщо то . Якщо то . Якщо то .

Див. також Довжина модуля Розмірність Круля

Джерела

Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1