В абстрактній алгебрі теорема Джекобсона про щільність є важливим результатом про властивості некомутативних кілець та модулів над ними. Теорема має застосування у теорії представлень груп та загальній теорії груп. Названа на честь американського математика Натана Джекобсона.
Необхідні означення Нехай є кільцем з одиницею і — R-модуль. Такий модуль називається простим, коли у нього немає нетривіальних підмодулів, тобто єдиними його підмодулями є і . Модуль називається точним, якщо виконується лише для .
Позначимо множину R-ендоморфізмів модуля . На можна ввести множення кільця як де і тоді буде -модулем на якому можна розглядати -лінійні відображення.
-лінійність ендоморфізмів означає, що для всіх . Позначивши відображення лівого множення елементів на елемент , з попереднього рівняння одержуємо, що кожна є -лінійним відображенням. Загалом натомість не є -лінійним якщо не є комутативним кільцем.
Теорема Джекобсона про щільність
Твердження теореми Нехай є кільцем з одиницею (загалом некомутативним), — простий точний лівий -модуль і є -лінійним відображенням.
Тоді для кожної скінченної множини елементів , що є лінійно незалежними над існує такий елемент , що для всіх .Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.7: The Jacobson Density TheoremI. Martin Isaacs: Algebra – A Graduate Course, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics (2009), Band 100, Theorem (13.14)
Іншими словами для D-лінійно незалежних елементів і довільних елементів існує такий елемент , що
Доведення теореми Нехай — скінченна підмножина і — анулятор підмножини. Нехай елемент , такий що . Тоді належить -лінійній оболонці множини
Справді якщо , то і , тож належить лінійній оболонці порожньої множини. Нехай тепер і доведення можна здійснити індукцією по .
Нехай і позначимо . Нехай . Зауважимо що . Якщо , тоді і тому . Згідно припущення індукції у цьому випадку належить -лінійній оболонці множини і відповідно і -лінійній оболонці множини . Тому надалі можна вважати що . Множина є лівим ідеалом і тому є -підмодулем у . Оскільки є простим модулем, то .
Тепер введемо відображення . Оскільки , то кожен елемент у рівний для деякого . Тоді візьмемо . Дане означення є несуперечливим адже якщо для , тоді і звідси . Тому згідно умови також.
Далі доведемо, що . Це відображення є очевидно адитивним, і тому потрібно перевірити, що воно є -ендоморфізмом. Нехай і і запишемо для деякого . Оскільки , то . Тому . Для завершення цієї частини доведення достатньо показати, що належить -лінійній оболонці множини . Згідно припущення індукції, це твердження рівнозначне тому, що . Нехай , тоді , що й треба було довести.
Повертаючись тепер до загального результату, доведення будемо здійснювати індукцією по . Нехай, як і вище, і позначимо . Згідно припущення індукції існує такий елемент , що . Позначимо . Для всіх елемент задовольняє рівності . Тому для завершення доведення потрібно підібрати так щоб також .
Але оскільки є -лінійно незалежним від то з попереднього . Як і в доведенні вище звідси , тому можна вибрати , такий що , що завершує теорему Джекобсона про щільність.
Коментарі Зважаючи на простоту лівого -модуля кільце згідно леми Шура є тілом. Для всіх і позначимо . Множини утворюють підбазу топології , яка називається скінченною топологією.
Зважаючи на точність модуля оператор можна ідентифікувати з елементом . Тоді можна записати і як наслідок теореми Джекобсона підмножина буде щільною у скінченній топології.Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.1.6 , що пояснює назву теорема про щільність.
Справді деяка підмножина у топологічному просторі є щільною тоді і тільки тоді коли перетин цієї множини і непустого перетину скінченної кількості множин із підбази теж є непустою підмножиною. Але є підмножиною відображень для яких для всіх . З теореми Джекобсона випливає існування для якого виконуються ці рівності і тоді
Якщо є скінченновимірним векторним простором над і є його базисом, тоді і в базисі згідно теореми Джекобсона .
Примітивні кільця Кільце з одиницею називається примітивним, якщо для нього існує точний, простий модуль.Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.1.1. Згідно теореми Джекобсона про щільність, для примітивного кільця існує тіло і -модуль такий, що є щільною підмножиною у . За такий модуль можна взяти точний простий модуль , який існує за означенням і тоді теж взяти .
Ця властивість характеризує примітивні кільця, адже якщо є щільним підкільцем для модуля над тілом , то є точним простим -модулем. Справді нульовий ендоморфізм є єдиним елементом який переводить модуль в нуль і оскільки є підмножиною то у цьому кільці може бути лише один елемент (а саме нульовий елемент) множення на який обнуляє модуль. Також оскільки є щільним підкільцем і для будь-яких існує такий, що то існує такий , що . Тобто завжди і єдиними підмодулями модуля є і , тобто він є простим -модулем.
Ця характеристика примітивних кілець є фактично альтернативною формою твердження теореми Джекобсона.Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra, Springer-Verlag (1993), ISBN 978-0-387-94057-1, Theorem 5.2 (Jacobson Density Theorem).
Теорема Бернсайда Прикладом застосування теореми Джекобсона є теорема Бернсайда. Нехай — група і незвідне n-вимірне представлення цієї групи у векторному просторі над полем комплексних чисел (або довільним іншим алгебрично замкнутим полем). Тоді існують такі елементи , що є -лінійно незалежними. Інакше кажучи лінійною оболонкою образів представлення є простір всіх ендоморфізмів векторного простору.
Введемо групову алгебру (тобто множину -лінійних комбінацій з елементами групи з очевидними означеннями суми і добутку) і продовжимо відображення до гомоморфізму -алгебр . Позначимо . Тоді згідно означень є точним і простим -модулем. Тоді є множиною лінійних операторів, що комутують з усіма елементами , а отже із усіма елементами . Оскільки згідно умови представлення є незвідним, то згідно леми Шура є множиною скалярних відображень і може бути ідентифікованим з .
Згідно теореми Джекобсона таким чином , тобто є алгеброю всіх ендоморфізмів лінійного простору. Оскільки є лінійною оболонкою образів представлення групи, то серед цих образів можна вибрати базис простору .Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Теорема 8.1.8
Примітки
Див. також Лема Шура
Література