Уніпотентний елемент

В математиці елемент деякого кільця називається уніпотентним, якщо він є сумою одиниці кільця і нільпотентного елемента. Важливим прикладом є уніпотентні матриці і лінійні оператори у скінченновимірних векторних просторах.

Оскільки кожна алгебрична лінійна група є ізоморфною замкнутій підгрупі загальної лінійної групи, через розклад Жордана — Шевальє поняття уніпотентних елементів можна ввести для довільної лінійної алгебричної групи. Ці елементи та підгрупи, усі елементи яких є уніпотентними, відіграють важливу роль у вивченні лінійних алгебричних груп і алгебричних многовидів загалом.

Означення Нехай є кільцем з одиничним елементом . Елемент називається уніпотентним, якщо є нільпотентним елементом, тобто якщо

для деякого .

Уніпотентні елементи лінійної алгебричної групи Уніпотентним елементом лінійної алгебричної групи , називається елемент, що збігається з уніпотентною компонентою свого розкладу Жордана — Шевальє в групі .

Якщо реалізувати як замкнуту підгрупу групи автоморфізмів скінченновимірного векторного простору над основним алгебрично замкнутим полем , то уніпотентний елемент — це елемент, для якого , або елемент, матриця якого в деякому базисі простору є уніпотентною матрицею.

Якщо , то всякий уніпотентний елемент має нескінченний порядок. В цьому випадку найменша алгебрична підгрупа в , що містить , є одновимірною уніпотентною групою.

Якщо ж , то буде уніпотентним елементом тоді і тільки тоді, коли він має скінченний порядок, рівний для деякого . Зв'язана група не містить уніпотентних елементів тоді і тільки тоді, коли вона є алгебричним тором.

Многовид уніпотентних елементів

Множина всіх уніпотентних елементів у є замкнутою в топології Зариського. Якщо визначена над підполем то і є визначеною над . Многовид є інваріантним щодо внутрішніх автоморфізмів групи . Для зв'язаної і напівпростої групи кількість класів спряженості уніпотентних елементів є скінченною. Для кожної простої групи відомий їх повний опис класів суміжності уніпотентних елементів, а також їх централізаторів (див. Spaltenstein N. Classes unipotentes et sous-groupes de Borel). У класичних групах такий опис одержується з використанням жорданової форми матриці див. Borel A. et al. Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups. Наприклад, для групи існує бієкція між класами спряженості уніпотентних елементів і розбиттями числа у суму додатних цілих доданків . Якщо і — два розбиття числа , то клас, який відповідає містить в своєму замиканні клас, який відповідає тоді і тільки тоді, коли для всіх . Розмірність класу, що відповідає розбиттю , як алгебричного многовида, дорівнює . Множина всіх регулярних точок алгебричного многовида утворює один клас спряженості уніпотентних елементів — регулярні уніпотентні елементи. Якщо є простою, то многовид особливих точок многовида також містить відкритий в топології Зариського клас спряженості уніпотентних елементів — субрегулярні уніпотентні елементи (Детальніше див. Slodowy P. Simple singularities and simple algebraic groups ).

Уніпотентні групи

Підгрупа лінійної алгебричної групи , що складається з уніпотентних елементів називається уніпотентною групою.

Приклади

Прикладом уніпотентної групи є група всіх верхніх трикутних матриць з з одиницями на діагоналі. Якщо — підполе поля і — уніпотентна підгрупа в то є спряженою над з деякою підгрупою групи . Зокрема, всі елементи з мають у спільний ненульовий власний вектор, a є нільпотентною групою. Тобто з точністю до ізоморфізму уніпотентні групи це підгрупи груп при різних . Для комутутивної лінійної алгебричної групи множина всіх уніпотентних елементів у є замкнутою алгебричною підгрупою, тобто вона є уніпотентною групою.

Властивості У будь-якій лінійній алгебричній групі є єдина зв'язана нормальна уніпотентна підгрупа , яка називається уніпотентним радикалом. Факторгрупа є редуктивною групою. Це до певної міри зводить вивчення будови будь-якої групи до вивчення будови редуктивних груп і уніпотентних груп. На відміну від редуктивного випадку класифікація алгебричних уніпотентна група невідома. Будь-яка підгрупа і довільна факторгрупа алгебричної уніпотентної групи знову є уніпотентною групою. Якщо , то завжди є зв'язаною, причому експоненціальне відображення (де — алгебра Лі групи ) є ізоморфізмом алгебричних многовидів. Якщо ж , то існують незв'язані алгебричні уніпотентні групи: наприклад, адитивна група основного поля. (Її можна ототожнити з ) є -групою і тому містить скінченну уніпотентну групу. У зв'язаній уніпотентній групі завжди є така послідовність нормальних дільників що всі фактори є одновимірними. Будь-яка зв'язана алгебрична одновимірна уніпотентна група є ізоморфною . Це зводить вивчення зв'язаних алгебричних уніпотентних груп до опису кратних розширень груп типу . Якщо — зв'язані алгебричні уніпотентні групи то многовид є ізоморфним афінному простору. Будь-яка орбіта алгебричної уніпотентної групи автоморфізмів афінного алгебричного многовиду є замкнутою в Steinberg. Conjugacy classes in algebraic groups.

Комутативні уніпотентні групи Якщо , то всі комутативні групи є ізоморфними і при цьому ізоморфізм задається експоненціальним відображенням Kambayashi, Miyanishi, Takeuchi. Unipotent Algebraic Groups. У випадку , зв'язані комутативні алгебричні уніпотентні групи — це зв'язані комутативні алгебричні групи, які є -групами. В цьому випадку є ізоморфною тоді і тільки тоді, коли для будь-якого . У загальному випадку є ізогенною добутку так званих груп Вітта Serre J.-P. Algebraic groups and class fields.

Примітки

Див. також Нільпотентний елемент Розклад Жордана — Шевальє Уніпотентна матриця

Література Борель А. Линейные алгебраические группы. — М.: Мир, 1972.