Уніпотентна матриця — квадратна матриця, що рівна сумі одиничної і нільпотентної матриць. Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці квадратних матриць.
Важливість уніпотентних матриць значною мірою пояснюється наявністю розкладу Жордана — Шевальє для довільної невиродженої квадратної матриці над досконалим полем. Зважаючи на наявність цього розкладу і його узагальнень, уніпотентні матриці відіграють важливу роль у теорії представлення груп і теорії груп Лі і алгебричних груп.
Означення
Квадратна матриця над кільцем з одиницею називається уніпотентною, якщо матриця є нільпотентною, інакше кажучи, якщо
для деякого . Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці .
Лінійний оператор на векторному просторі, матриця якого в довільному базисі є уніпотентною називається уніпотентним лінійним оператором.
Приклади
Простим прикладом уніпотентної матриці є матриця
,
для якої
.
Більш загальним прикладом є верхні трикутні матриці, для яких елементи на головній діагоналі усі рівні 1, тобто матриці виду
.
Усі такі матриці є уніпотентними, оскільки . Також усі матриці подібні до матриці є уніпотентними оскільки
для довільної невиродженої матриці . Звідси зокрема випливає, що якщо матриця лінійного оператора є уніпотентною в деякому базисі векторного простору, то вона є уніпотентною в довільному іншому базисі і означення уніпотентного лінійного оператора є коректним.
Навпаки, матриця над довільним полем є уніпотентною, тоді і тільки тоді коли вона є подібною верхній трикутній матриці з одиничною головною діагоналлю. До того ж для будь-якої множини уніпотентних матриць, що утворюють групу щодо операції множення матриць, матрицю , що визначає подібність з верхніми трикутними матрицями можна обрати одну для всіх матриць групи.
Властивості
Власні значення
Квадратна матриця над полем є уніпотентною, коли її характеристичний многочлен має вигляд
Іншими словами всі власні значення матриці рівні sind.
Розклад Жордана — Шевальє
Кожна невироджена матриця над досконалим полем може бути записана у виді розкладу Жордана — Шевальє:
,
де матриця є напівпростою (для алгебрично замкнутих полів — діагоналізовною), а — уніпотентною. Такий розклад завжди є єдиним.
Степені, добутки і обернена матриця
Степінь уніпотентної матриці над довільним полем теж є уніпотентною матрицею. Її можна записати через степені нільпотентної матриці:
де — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності .
Зокрема звідси отримуємо, що над полем характеристики матриця є уніпотентною тоді і тільки тоді коли для всіх достатньо великих справедливою є рівність
Більш загально, добуток двох комутуючих уніпотентних матриць над полем є уніпотентною матрицею.
Для матриць над довільним кільцем з одиницею уніпотентна матриця завжди має обернену матрицю рівну:
де — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності . Обернена матриця теж є уніпотентною.
Логарифм і експонента
Логарифм уніпотентної матриці є нільпотентною матрицею, яка рівна:
де — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності .
Також для логарифму і експоненти матриці справедливою є рівність
.
Навпаки, експонента нільпотентної матриці є уніпотентною матрицею і
.
Зокрема, якщо є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності , то образом її експоненти буде матриця виду , де є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності . Навпаки логарифм уніпотентної матриці , де є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності є нільпотентною матрицею теж степеня . До того ж ці два відображення задають гомеоморфізм між просторами нільпотентних матриць зі степенем нільпотентності і уніпотентних матриць виду , де має степінь нільпотентності .
Див. також Нільпотентна матриця Розклад Жордана — Шевальє
Джерела
Примітки