У математиці система сюрреальних чисел () — лінійно впорядкований клас, що містить дійсні числа, а також нескінченні та нескінченно малі числа, відповідно, більші або менші за модулем, ніж будь-яке додатне дійсне число. Узагальнення дійсних чисел і нескінченних порядкових чисел. Вперше використав Джон Конвей для опису низки аспектів теорії ігор.

Сюрреальні числа поділяють багато властивостей з дійсними, серед них звичайні арифметичні операції (додавання, віднімання, множення і ділення); як наслідок, вони утворюють упорядковане поле. Як сформульовано в теорії множин фон Неймана —Бернайса —Геделя, сюрреальні числа є найбільшим можливим упорядкованим полем; усі інші впорядковані поля, такі як поля раціональних, дійсних чисел, поле раціональних функцій, , супердійсні та гіпердійсні числа, можуть бути втілені як підполя сюрреальної прямої. Крім того, показано (в теорії множин фон Неймана — Бернайса — Геделя), що максимальний клас поля гіпердійсних чисел ізоморфний максимальному класу поля сюрреальних чисел; у теоріях без , і в даних теоріях не обов'язково є істинним, що сюрреальні числа є найбільшим упорядкованим полем. Сюрреальні числа також містять усі трансфінітні порядкові числа; арифметика включає .

Історія 1907 року австрійський математик Ганс Ган представив як узагальнення формальних степеневих рядів, а німецький математик Фелікс Гаусдорф увів деякі впорядковані множини, звані для ординалів α, і поставив питання, чи можливо знайти сумісну впорядковану групу або структуру поля. 1962 року Норман Аллінг використав модифіковану форму рядів Гана для побудови таких упорядкованих полів, пов'язаних із певними ординалами α, а взяття α як класу всіх ординалів у його побудові дає клас, який є впорядкованим полем, ізоморфним сюрреальним числам.

Дослідження йосе в грі ґо привело Конвея до ще одного означення й побудови сюрреальних чисел. Побудову Конвея використано в книзі Дональда Кнута 1974 року «Сюрреальні числа». В своїй книзі, яка має форму діалогу, Кнут придумав термін «сюрреальні числа» для того, що Конвей назвав просто числами. Пізніше Конвей прийняв термін Кнута і використав для аналізу ігор у своїй книзі 1976 року «».

Окрім Конвея і Кнута, значну роль у теорії сюрреальних чисел зіграв математик Мартін Девід Крускал. На той час сюрреальні числа вже мали всі основні властивості та операції дійсних чисел, і включали всі дійсні числа, поряд із багатьма типами нескінченностей і нескінченно малих величин. Крускал зробив внесок в основу теорії, означення сюрреальних функцій та аналіз їх структур. Він також виявив зв'язок між сюрреальними числами, асимптотикою та експоненціальною асимптотикою. Головне питання, яке поставили Конвей, Крускал і Нортон у кінці 1970-х років, і яке завзято досліджував Крускал, полягає в тому, чи володіють всіма сюрреальними функціями визначені інтеграли. 2015 року на це питання відповіли заперечно Костін, Фрідман та Ерліх. Однак аналіз Костіна та ін. показує, що існують певні інтеграли для досить широкої категорії сюрреальних функцій, для яких простежується широке поняття асимптотичного аналізу Крускала. До своєї смерті 2006 року Крускал збирався разом із Костіним написати книгу про сюрреальний аналіз.

Огляд У побудові Конвея сюрреальні числа будуються поетапно. Вони будуються одночасно з бінарним відношенням . При цьому для будь-яких двох сюрреальних чисел і або , або . (Обидві нерівності можуть виконуватися одночасно, в цьому випадку і еквівалентні і позначають одне й те саме число). Числа формуються побудовою пари підмножин уже побудованих чисел: пара підмножин сюрреальних чисел і таких, що всі елементи строго менші від усіх елементів , задають нове число, позначуване , при цьому це число є проміжним між усіма елементами і всіма елементами .

Різні підмножини можуть визначати однакові числа: і можуть визначати те саме число, навіть якщо і (аналогічно тому, як те саме раціональне число, визначене як відношення двох цілих чисел, можна подати різними відношеннями: і  — різні подання одного й того ж раціонального числа). Тож, строго кажучи, сюрреальні числа є класами еквівалентності подань виду відносно відношення еквівалентності.

На першому етапі побудови ще не існує чисел, тому можна використовувати тільки порожню множину: . Це подання, де і порожні, називається 0. Наступні етапи дають такі форми, як:

, , ,

а також

, , .

Таким чином, цілі числа є підмножиною сюрреальних чисел. (Наведені вище тотожності є визначеннями в тому сенсі, що права частина є назвою для лівої частини). Аналогічно можна побудувати такі числа:

, ,

і так далі. Отже, всі двійково-раціональні числа (раціональні числа, знаменники яких дорівнюють степеня 2) містяться всередині сюрреальних чисел.

Після нескінченного числа етапів стають доступними нескінченні підмножини (для строгішого визначення потрібне поняття трансфінітної індукції), так що будь-яке дійсне число можна подати як , де  — множина всіх двійково-раціональних чисел, менших від , а  — множина всіх двійково-раціональних раціональних чисел, більших від (подібно до дедекіндового перерізу). Отже, дійсні числа також можна побудувати в класі сюрреальних чисел.

Є також такі подання, як

, ,

де  — трансфінітне число, більше від усіх цілих чисел, а  — нескінченно мале більше від 0, але менше від будь-якого додатного дійсного числа (гіпердійсне число). Більш того, стандартні арифметичні операції (додавання, віднімання, множення та ділення) можна розширити до цих недійсних чисел у спосіб, який перетворює набір сюрреальних чисел на впорядковане поле, так що можна говорити про або тощо.

Побудова Сюрреальні числа будуються індуктивно як класи еквівалентності пар множин сюрреальних чисел, обмежені тією умовою, що кожен елемент першої множини повинен бути меншим за будь-який елемент другої множини. Побудова складається з трьох взаємозалежних частин: правила побудови, правила порівняння та правила еквівалентності.

Форми Форма сюрреального числа це пара множин сюрреальних чисел, званих його лівою і правою множинами. Форма з лівою множиною і правою множиною записується . Коли і задано як списки елементів, дужки навколо них можна опустити. Одна або обидві з множин форми можуть бути порожніми. Форма з лівою і правою порожніми множинами записується .

Числові форми Правило побудови: Форма є числовою, якщо переріз множин і є порожньою множиною, і будь-який елемент більший за будь-який елемент , згідно з відношенням порядку ⩽, заданим правилом нижче.

Класи еквівалентності числових форм Числові форми розміщуються в класах еквівалентності; кожен клас еквівалентності є сюрреальним числом. Елементи лівої та правої множин форми взято саме зі всесвіту сюрреальних чисел (не форм, а класів еквівалентності).

Правило еквівалентності: Дві числові форми x і y є формами одного й того ж числа (перебувають в одному класі еквівалентності) тоді й лише тоді, коли x ⩽ y та y ⩽ x.

Визначення відношення ⩽ буде наведено далі.

Іншими словами, відношення порядку є антисиметричним, тобто вираз x = y (тобто x ⩽ y і y ⩽ x обидва істинні) має бути істинним тільки коли x і y є одним і тим самим об'єктом. Це не стосується форм сюрреальних чисел, але це істинне для сюрреальних чисел (класів еквівалентності).

Клас еквівалентності, що включає називається 0; також це форма сюрреального числа 0.

Порядок Рекурсивне визначення порядку для сюрреальних форм задається так:

Нехай дано числові форми та , тоді x ⩽ y тоді й лише тоді, коли:

не існує xL ∈ XL такого, щоб y ⩽ xL (кожен у лівій множині x менший, ніж y), і не існує yR ∈ YR такого, щоб yR ⩽ x (кожен елемент у правій множині y більший, ніж x).

Порівняння y ⩽ c для форми y і сюрреального числа c визначається вибором будь-якої форми z із класу еквівалентності c і перевірки y ⩽ z; аналогічно для c ⩽ x і для порівняння b ⩽ c двох сюрреальних чисел.

Індукція Ця група визначень рекурсивна і вимагає деякої математичної індукції для визначення всесвіту об'єктів (форм і чисел), які зустрічаються в них. Єдиними сюрреальними числами, що досягаються через «скінченну індукцію», є двійково-раціональні числа. Ширший всесвіт досяжний за використання трансфінітної індукції.

Індукційне правило

Існує , в якій 0 — клас еквівалентності, що складається з єдиної форми . Для будь-якого порядкового числа маємо  — множину всіх сюрреальних чисел, які можна отримати, застосовуючи правило побудови до всіх підмножин .

Базовий випадок насправді є окремим випадком правила індукції, причому 0 — мітка «найменшого порядкового числа». Оскільки не існує з i < 0, вираз є порожньою множиною; єдиною підмножиною порожньої множини є порожня множина, і тому складається з єдиної сюрреальної форми із класу еквівалентності 0.

Для кожного скінченного порядкового числа множина цілком упорядкована відносно порівняння сюрреальних чисел.

Перше застосування правила індукції дає три числові форми (Форма не числова, тому що 0 ⩽ 0). Клас еквівалентності, що містить , позначається 1, а клас еквівалентності, що містить , позначається −1. Ці три позначення мають особливе значення в аксіомах, які визначають кільце — це нейтральний елемент за додаванням (0), нейтральний елемент за множенням (1) і протилежний до до 1 (-1). Арифметичні операції, визначені нижче, відповідають цим назвам.

Для кожного i < n усі числа, що містяться в , також містяться в (у вигляді надмножин їх подання в ) (Умовний вираз об'єднання всіх попередніх використовується в нашому правилі побудови, замість простішої форми , отже визначення і ця властивість також мають сенс, коли n є ). Кажуть, що Числа в , які є надмножиною деякого числа в , «успадковані з покоління i». Найменше значення α, для якого дане сюрреальне число з'являється в , називається його «днем народження». Наприклад, день народження 0 дорівнює 0, а день народження -1 дорівнює 1.

Друга ітерація правила побудови дає такий порядок класів еквівалентності:

.

Порівняння цих класів еквівалентності узгоджується незалежно від вибору форми. Можна помітити, що:

В з'являється чотири нові сюрреальні числа. Два з них містять «екстремальні» форми: що включає всі числа з попередніх поколінь у своїй правому множині, і  — у лівій множині. Інші мають форму, яка розбиває всі числа з попередніх поколінь на дві непорожні множини. Кожне сюрреальне число x, що існувало в попередньому «поколінні», існує також у цьому поколінні і отримує принаймні одну нову форму: поділ усіх чисел, відмінних від x від попередніх поколінь у ліву множину (всі числа, менші від x) і в праву множину (всі числа, більші від x). Клас еквівалентності числа залежить тільки від найбільшого елемента його лівої множини та найменшого елемента правої множини.

Неформальні інтерпретації та  — «число зразу після 1» та «число перед −1» відповідно; їхні класи еквівалентності позначено 2 та −2. Неформальні інтерпретації та це «число на півдорозі між 0 і 1» і «число на півдорозі між −1 і 0» відповідно; їхні класи еквівалентності позначено та . Ці позначення також будуть обґрунтовані правилами сюрреального додавання та множення нижче.

Клас еквівалентності на кожному кроці n можна схарактеризувати його n-повною формою (яка містить так багато елементів, скільки можливо, у своїх лівій і правій множинах). Або ця повна форма містить кожне число з попередніх поколінь, і в цьому випадку це перше покоління, в якому це число зустрічається, або вона містить усі числа з попередніх поколінь, крім одного, і в цьому випадку це нова форма цього самого числа. Ми зберігаємо позначення попереднього покоління для цих «старих» чисел і записуємо порядок далі, використовуючи старі та нові позначення:

.

Третє спостереження поширюється на всі сюрреальні числа зі скінченними лівою і правою множинами. (Для нескінченних лівої або правої множин це справедливо у зміненій формі, оскільки нескінченні множини можуть не містити найбільшого чи найменшого елемента.) Отже, число еквівалентно ; можна встановити, що вони є формами 3, використовуючи описану далі властивість день народження, яка є наслідком наведених вище правил.

Властивість «день народження»