У абстрактній алгебрі довільне кільце називається кільцем Джекобсона (іноді також кільцем Гільберта) якщо кожен його простий ідеал є рівним перетину примітивних ідеалів (тобто ідеалів, що є ануляторами простих модулів).
Для комутативних кілець примітивні ідеали це те ж саме, що і максимальні і тому комутативне кільце з одиницею називається кільцем Джекобсона, якщо будь-який простий ідеал цього кільця є перетином максимальних ідеалів, що його містять.
Інакше кажучи будь-яке цілісне фактор-кільце має нульовий радикал Джекобсона.
Приклади Оскільки єдиним простим ідеалом поля є нульовий ідеал, довільне поле є кільцем Джекобсона. Будь-яке кільце Артіна є кільцем Джекобсона. Кільце цілих чисел і, більш загально, будь-яке кільце головних ідеалів і кільце Дедекінда з нульовим радикалом Джекобсона. Абсолютно плоске кільце (тобто кільце над яким усі модулі є плоскими) є кільцем Джекобсона. Алгебра над незліченним полем із зліченною породжуючою множиною є кільцем Джекобсона. Локальне кільце, що не є артіновим, не є кільцем Джекобсона.
Властивості Якщо є кільцем Джекобсона, а — -алгебра, що є областю цілісності або -алгеброю скінченного типу, то є кільцем Джекобсона. Зокрема, фактор-кільце кільця Джекобсона є кільцем Джекобсона. Комутативне кільце є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли кожен його G-ідеал є максимальним ідеалом. Комутативне кільце є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли кільце многочленів від скінченної кількості змінних над є кільцем Джекобсона. Разом із попередньою властивістю це означає, що довільна скінченнопороджена алгебра над кільцем Джекобсона є кільцем Джекобсона. Оскільки поле є кільцем Джекобсона, то частковим випадком цього твердження є теорема Гільберта про нулі. У випадку нескінченної кількості змінних, факт того чи є кільце многочленів над полем кільцем Джекобсона залежить від співвідношення числа змінних і потужності поля. Комутативне кільце є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли для нього виконується аналог леми Зариського: довільна скінченнопороджена -алгебра, що є полем є скінченнопородженим -модулем.
Примітки
Див. також Теорема Гільберта про нулі G-область
Література