Трійкові коди Голея, в теорії кодування — це два тісно пов'язаних коди з корекцією помилок. Загалом, код відомий за назвою «трійковий код Голея» — це код , який, по суті є лінійним кодом у трійковому алфавіті; відносна відстань коду настільки велика, настільки це можливо для трійкового коду, і, виходячи з цього, трійковий код Голея — це .

Розширений трійковий код Голея — це [12, 6, 6] лінійний код, отриманий шляхом додавання контрольного числа з нульовою сумою до коду [11, 6, 5]. У скінченній теорії груп розширений трійковий код Голея іноді називають трійковим кодом Голея.

Властивості

Трійковий код Голея Трійковий код Голея складається з 36 = 729 кодових слів. Ось його :

Будь-які два кодових слова мають хоча б 5 відмінностей. Кожне трійкове слово довжиною в 11, має відстань Геммінга не більше 2 з одного кодового слова. Код також може конструюватися як квадратний код залишку довжиною в 11 у скінченному полі F3.

Використаний при в 11 іграх, трійковий код Голея відповідає 729 ставкам і гарантує саме одну ставку з якнайбільше двома неправильними результатами.

Набір кодових слів з вагою Геммінга 5 — це 3-(11,5,4) блок-схема.

Розширений трійковий код Голея розширеного трійкового коду — це:

Автоморфізм груп розширеного трійкового коду Голея — це 2.M12, де M12 являє собою .

Розширений код Голлея може бути збудований як пропуск рядків матриці Адамара 12-го порядку у полі F3.

Розглядаючи всі кодові слова розширеного коду, які мають шість ненульових цифр, ми помітимо, що Набори позицій, в яких зустрічаються ці ненульові цифри становлять системи Штейнера S (5, 6, 12).

Історія

Трійковий код Голея був винайдений Марселем Голеєм 1949 року. Але незалежно він був відкритий двома роками раніше фінським прихильником ставок на футбол Джуані Віртакаліо, який опублікував статтю в 1947 році у 27, 28 і 33 виданні футбольного журналу Veikkaaja.

Див. також Двійковий код Голея Граф Берлекемпа — ван Лінта — Зейделя

Примітки

M.J.E. Golay, Notes on digital coding, Proceedings of the 37 (1949) 657 I.F. Blake (ed.), Algebraic Coding Theory: History and Development, Dowden, Hutchinson & Ross, Stroudsburg 1973 J. H. Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1988. , Twelve Sporadic Groups, Springer, 1998. G. Cohen, I. Honkala, S. Litsyn, A. Lobstein, Covering Codes, Elsevier (1997) Th. M. Thompson, From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, Математична асоціація Америки 1983,