У математиці дзета-функція Гурвіца, названа на честь Адольфа Гурвіца — одна з дзета-функцій, які є узагальненнями дзета-функції Рімана. Формально вона може бути задана степеневим рядом для комплексних аргументів s, при Re(s) > 1, і q, Re(q) > 0:
Цей ряд є абсолютно збіжним для заданих значень s і q. Дзета-функція Рімана — окремий випадок дзета-функції Гурвіца при q = 1.
Аналітичне продовження Дзета функція Гурвіца допускає аналітичне продовження до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних s, при s ≠ 1. У точці s = 1 вона має простий полюс із лишком, рівним 1. Постійний член розкладу в ряд Лорана в околі точки s = 1 дорівнює:
,
де Γ(x) — гамма-функція, і ψ(x) — дигамма-функція.
Подання у вигляді рядів Подання у вигляді збіжного степеневого ряду для q > −1 і довільного комплексного s ≠ 1 отримав у 1930 році Гельмут Гассе
Цей ряд є рівномірно збіжним на будь-якій компактній підмножині комплексної s-площини до цілої функції. Внутрішня сума може бути подана у вигляді n-ї скінченної різниці для , тобто:
де Δ — оператор скінченної різниці. Таким чином
Інтегральні подання Дзета-функція Гурвіца має інтегральне подання у вигляді перетворення Мелліна:
для Re(s) > 1 і Re(q) > 0.
Формула Гурвіца , де
. Це подання дзета-функції Гурвіца є правильним для 0 ≤ x ≤ 1 и s >1. Тут — позначає полілогарифм.
Функціональне рівняння Дане функціональне рівняння пов'язує значення дзета-функції Гурвіца ліворуч і праворуч від прямої Re(s) = 1/2 в комплексній s-площині. Для натуральних m і n, таких що m ≤ n рівність
виконується для всіх значень s.
Ряд Тейлора Похідна дзета-функції Гурвіца за другим аргументом також виражається через дзета-функцію Гурвіца:
Таким чином ряд Тейлора має вигляд:
Ряд Лорана Розклад дзета-функції Гурвіца в ряд Лорана можна використати для визначення , які з'являються в розкладі:
Перетворення Фур'є Дискретне перетворення Фур'є за змінною s дзета-функції Гурвіца є хі-функцією Лежандра
Зв'язок з многочленами Бернуллі Введена вище функція узагальнює многочлени Бернуллі: . З іншого боку,
Зокрема, при :
Зв'язок з тета-функцією Якобі Якщо — тета-функція Якобі, тоді
.
Ця формула є вірною для Re(s) > 0 і будь-якого комплексного z, яке не є цілим числом. Для цілого z = n формула спрощується:
.
де ζ(s) — дзета-функція Рімана. Останній вираз є функціональним рівнянням для дзета-функції Рімана.
Зв'язок з L-функцією Діріхле При раціональних значеннях аргументу дзета-функція Гурвіца може бути подана у вигляді лінійної комбінації L-функцій Діріхле і навпаки. Якщо q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 і 0 < n < k, тоді
при цьому сумування здійснюється за всіма характерами Діріхле за модулем k. І навпаки
Зокрема існує таке подання:
що узагальнює
(Яке є правильним при натуральному q і ненатуральному 1 − qa.)
Раціональні значення аргументів Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних співвідношеннях для раціональних значень аргументів. Зокрема, для многочленів Ейлера:
і
,
Крім того рівність
,
виконується для . Тут і виражаються через хі-функціію Лежандра як
і
Застосування Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних розділах математики, зокрема в теорії чисел, де її теорія є найбільш розвиненою. Також дзета-функція Гурвіца зустрічається в теорії фракталів і динамічних систем. Дзета-функція Гурвіца застосовується в математичній статистиці, в законі Ципфа. У фізиці елементарних частинок використовується у формулі Швінгера , що дає точний результат для показника народження пар в рівнянні Дірака для стаціонарного електромагнітного поля.
Окремі випадки і узагальнення Дзета-функція Гурвіца пов'язана з полігамма-функцією:
Дзета-функція Лерхе узагальнює дзета-функцію Гурвіца:
тобто
Див. також Дзета-функції
Примітки
Посилання
Література
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. .