Функція дільників — арифметична функція, пов'язана з дільниками цілого числа. Функція відома також під назвою функція дивізорів. Застосовується, зокрема, при дослідженні зв'язку дзета-функції Рімана і рядів Ейзенштейна для модулярних форм. Вивчалася Рамануджаном, який вивів ряд важливих рівностей в модульній арифметиці і арифметичних тотожностей.
З функцією дільників тісно пов'язана суматорна функція дільників, яка, як випливає з назви, є сумою функції дільників.
Означення Функція сума додатних дільників σx(n) для дійсного або комплексного числа x визначається як сума x степенів додатних дільників числа n. Функцію можна виразити формулою
де означає «d ділить n».
Найважливішими частковими випадками є x = 0 і x = 1. Для позначення σ0(n) або функції кількості дільників використовуються також позначення d(n), ν(n) и τ(n) (від німецького Teiler = дільник) Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 стор 46 . У цьому випадку функція має просту геометричну інтерпретацію: σ0(n) = d(n) дорівнює кількості точок (x, y) з цілими координатами у «правому верхньому квадранті», що лежать на гіперболі xy = n.
Якщо x дорівнює 1, функція називається сигма-функцією або сумою дільників Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 , Стор 58 і індекс часто опускається, так що σ(n) є еквівалентним σ1(n) .
Пов'язаною з σ(n) є функція s(n), що є рівною сумі власних дільників (тобто дільників, за винятком самого n) , тобто s(n) = σ1(n) - n.
Приклади Наприклад, σ0(12) — кількість дільників числа 12:
тоді як σ1(12) — сума всіх дільників:
і сума s(12) власних дільників є рівною:
Таблиця значень n Дільники σ0(n) σ1(n) s(n) = σ1(n) − n Коментарі 1 1 1 1 0 квадрат: значення σ0(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n − 1 (майже досконале) 2 1,2 2 3 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1 3 1,3 2 4 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1 4 1,2,4 3 7 3 квадрат: σ0(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n − 1 (майже досконале) 5 1,5 2 6 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1 6 1,2,3,6 4 12 6 перше досконале число: s(n) = n 7 1,7 2 8 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1 8 1,2,4,8 4 15 7 степінь 2: s(n) = n - 1 (майже досконале) 9 1,3,9 3 13 4 квадрат: σ0(n) є непарним 10 1,2,5,10 4 18 8 11 1,11 2 12 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1 12 1,2,3,4,6,12 6 28 16 перше надлишкове число: s(n) > n 13 1,13 2 14 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1 14 1,2,7,14 4 24 10 15 1,3,5,15 4 24 9 16 1,2,4,8,16 5 31 15 квадрат: σ0(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n - 1 (майже досконале)
σ0(n)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+110+1223242434212+62445262644224+83446282644436+92448282664248+103646284844260+122467482648272+1224664821054284+1244482124644496+1226692828842108+12284102846644120+16344641228482132+12448828212444
σ1(n)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+110+134761281513181212+28142424311839204232362424+60314240563072326348544836+91386056904296448478724848+12457937298541207212080906060+16862961041278414468126961447272+1957411412414096168801861211268484+2241081321201809023411216812814412096+25298171156217102216104210192162108108+280110216152248114240144210182180144120+360133186168224156312128255176252132132+336160204240270138288140336192216168
σ2(n)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+110+151021265050859113012212+21017025026034129045536254650061053024+85065185082010508421300962136512201450130036+19111370181017002210168225001850256223662650221048+34102451325529003570281041003172425036204210348260+54603722481045505461442061004490609053006500504272+77355330685065107602610085006242886673818410689084+1050075409250842010370792211830850011130962011050941296+13650941012255111021367110202145001061014450130001405011450108+172201188215860137001705012770181001378017682154701741014500120+221001476318610168202020216276227501613021845185002210017162132+256201810022450213202465018770265001932227300221002521020740
Випадки , і так далі входять в послідовності , , , , , …
Властивості Для цілих, які не є квадратами, кожен дільник d числа n має пов'язаний дільник n/d, і тому для таких чисел завжди є парним. Для квадратів один дільник, а саме , не має пари, так що для них завжди є непарним числом.
Для простого числа p,
оскільки, за означенням, просте число ділиться тільки на одиницю і самого себе. Якщо pn# позначає прайморіал, то
Для всіх виконуються нерівності і . Для складених чисел виконується нерівність Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.. Для будь-яких цілих чисел більших одиниці . Для всіх окрім 1,2,3,4,6 и 8 виконується нерівність Анапурни),Annapurna V., Inequalities of σ(n) and φ(n), Math. Mag., 45, 1972, стр. 187 – 190,Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.:
Для всіх натуральних чисел і виконується нерівність Сіварамакрішнана — Венкатараманана:
Нерівність Ленгфорда
У кільці арифметичних функцій функція дільників є оборотним елементом і можна дати еквівалентне означенняBundschuh, P., Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-55178-6, 1.4.10: де, за означенням , а * позначає згортку Діріхле. Оберненим елементом для функції σx є мультиплікативна арифметична функція задана якSiemon, H., Einführung in die Zahlentheorie, Verlag Dr. Kovac, Hamburg, 2002, ISSN 1435 – 6511, 5.5, 8.15.4 и 8.7: Для цієї функції виконується рівність , і зокрема для : , де — функція Мебіуса. При тих же позначеннях
Функція дільників є мультиплікативною, але не цілком мультиплікативною. Якщо — взаємно прості натуральні числа, і , то , де і і до того ж такий запис є єдиним (з точністю до порядку множників). Навпаки, якщо і , то . Тому , тобто . Натомість, наприклад, і тому .
Якщо записати ,
де r = ω(n) — кількість простих дільників числа n, pi — i-й простий дільник, а ai — максимальний степінь pi, на який ділиться n, то з мультиплікативності функції дільників отримуємо: .
Використовуючи формулу суми геометричної прогресії, також можна записами:
,
Якщо у попередній формулі взяти x = 0, отримаємо, що d(n) є рівним:
Приклад, число n = 24 має два простих дільники — p1 = 2 і p2 = 3. Оскільки 24 — добуток 23×31, то a1 = 3 і a2 = 1.
Тепер можна обчислити :
Вісім дільників числа 24 — 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 і 24.
Функція s(n) використовується для означення досконалих чисел — для них s(n) = n. Якщо s (n) > n, то n називається надлишковим, а якщо s(n) < n, то n називається недостатнім.
Якщо n — степінь двійки, тобто , то і s(n) = n-1, що робить n майже досконалим.
Як приклад, для двох простих p і q (де p < q), нехай
Тоді
і
де φ(n) — функція Ейлера.
Тоді корені p і q рівняння:
можна виразити через σ(n) и φ(n) :
Знаючи n і або σ(n), або φ(n) (чи знаючи p+q і або σ(n) або φ(n)) можна знайти p і q. В 1984 році Хіз-Браун (Roger Heath-Brown) довів, що рівність
виконується для нескінченної кількості натуральних чисел.
Зв'язок з рядами Два ряди Діріхле, із функцією дільників:
і при позначенні d(n) = σ0(n) зокрема
Інший ряд, де використовуються ці функції:
Ряд Ламбера, із функцією дільників:
для будь-якого комплексного |q| ≤ 1 і a.
Ця сума зустрічається також в рядах Фур'є для рядів Ейзенштейна і в інваріантах еліптичних функцій Вейєрштраса.
Асимптотична швидкість росту
Швидкість росту кількості дільників Для всіх справедливою є границя:
Дійсно можна вибрати таке ціле число , що і позначаючи — k-те по величині просте число можна ввести числа для . Тоді з формули кількості дільників через розклад на добуток простих чисел , де — константа, що не залежить від . Позначивши з попередньої нерівності отримаємо З іншого боку функція кількості дільників задовольняє нерівність"Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 для всіх , тобто Северин Вігерт дав більш точну оцінку
З іншого боку, для будь-якого простого числа і з огляду на нескінченність множини простих чисел,
Діріхле показав, що середній порядок функції дільників задовольняє нерівність: Для всіх де — стала Ейлера — Маскероні. Завдання покращити границю в цій формулі називається проблемою Діріхле про дільники.
Швидкість росту суми дільників Поведінка сигма функції є нерівномірною. Асимптотичну швидкість росту сигма функції можна виразити формулою:
Цей результат називається теоремою Гронвала (Gronwall) і був опублікований у 1913 році Gronwall, Thomas Hakon (1913), «Some asymptotic expressions in the theory of numbers», Transactions of the American Mathematical Society 14: 113 -122, doi: 10.1090 / S0002-9947-1913-1500940-6 . Його доведення використовує третю теорему Мертенса, яка стверджує, що
де p — просте число. У 1915 році Рамануджан довів, що при виконанні гіпотези Рімана нерівність (нерівність Робіна) виконується для всіх досить великих n Ramanujan, Srinivasa (1997), «Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin», The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi: 10.1023 / A: 1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180 . У 1984 році Гай Робін довів, що нерівність є вірною для всіх n ≥ 5041 в тому і тільки в тому випадку, якщо гіпотеза Рімана є вірною Robin, Guy (1984), «Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothese de Riemann», Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, Neuvieme Serie 63 (2 ): 187-213, ISSN 0021-7824, MR 774171 . Це твердження називається теоремою Робіна. Найбільше відоме число, що порушує нерівність Робіна — n = 5040. Якщо гіпотеза Рімана вірна, то немає більших чисел, що порушують нерівність. Робін показав, що в разі помилковості гіпотези існує нескінченна кількість чисел n, що порушують нерівність, і відомо, що найменше з таких чисел n ≥ 5041 має бути надлишковим числом Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi: 10.4169 / 193009709X470128 . Було показано, що нерівність виконується для великих непарних вільних від квадратів чисел, і що гіпотеза Рімана еквівалентна виконанню нерівності для всіх чисел n, що діляться на п'ятий степінь простого числа YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol, Pieter Moree, Patrick Sole On Robin's criterion for the Riemann hypothesis 2007 Journal de theorie des nombres de Bordeaux, ISSN = 1246-7405, v19, issue 2, pages = 357-372 Джефрі Лагаріас (Jeffrey Lagarias) в 2002 році довів, що гіпотеза Рімана еквівалентна твердженням
для будь-якого натурального n, де — n-е гармонічне число Lagarias, Jeffrey C. (2002) , «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis», The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi: 10.2307 / 2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 19080 . Робін довів, що нерівність
виконується для n ≥ 3 без будь-яких додаткових умов.
Див. також Функція суми квадратів
Примітки
Посилання
Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions