Узагальнений розподіл Пуассона на локально компактній абелевій групі, поряд із розподілом Гауса, відіграє важливу роль в арифметиці ймовірнісних розподілівParthasarathy K.R., Ranga Rao R., Varadhan S. R. S. Probability distributions on locally compact abelian groups // Illinois J. Math. - 1963. — 7. — P. 337—369. Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Probab. Math. Statist. — 3. - New York — London: Academic Press, 1967..
Нехай — локально компактна абелева група, — її група характерів, — значення характеру на елементі . Нехай — скінченна невід'ємна міра на . Узагальненим розподілом Пуассона, асоційованим з мірою , називається зсув розподілу виду
де — вироджений розподіл, зосереджений в нулі групи . Розподіл — безмежно подільний. Характеристична функція розподілу має вигляд
Розклади узагальненого розподілу Пуассона вивчалися в Фельдман Г. М. О разложении обобщенного распределения Пуассона на группах // Теория вероятностей и её применения. — 1982. — Т. 27, № 4. — С. 725—738. та Фельдман Г. М. Обобщенное распределение Пуассона класса I₀ на группах // Теория вероятностей и её применения. — 1984. — Т. 29, № 2. — С. 222—233., див. також Feldman G.M. Arithmetic of probability distributions and characterization problems on Abelian groups. Transl. Math. Monographs. — 116. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.. Зокрема, справедлива така теорема.
Теорема. Нехай — локально компактна абелева група, — скінченна невід'ємна міра на . Якщо міри та взаємно сингулярні для будь-яких натуральних , то всі дільникі узагальненого розподілу Пуассона також узагальнені розподіли Пуассона, тобто не має нерозкладних дільників.
Примітки