В теорії категорій унівалентним функтором (відповідно Повним функтором) називається функтор, який є ін'ективним (відповідно сюр'єктивним) на кожній множині морфізмів із фіксованими образом і прообразом.
Більш точно, нехай C і D — локально малі категорії і нехай F: C → D — функтор з C у D. Цей функтор індукує функцію
для кожної пари об'єктів X і Y з C. Функтор F називається
Унівалентним (або строгим), якщо функція F X, Y є ін'єктивною Повним, якщо F X, Y є сюр'єктивною Цілком унівалентним (або повним і унівалентним), якщо F X, Y є бієктивною
для кожних X і Y в C.
Властивості
Унівалентний функтор не обов'язково є ін'єктивним на об'єктах категорії C, тому образ цілком унівалентного функтора може не бути категорією, ізоморфною C. Аналогічно, повний функтор не обов'язково є сюр'єктивним на об'єктах. Однак цілком унівалентний функтор є ін'єктивним на об'єктах з точністю до ізоморфізму, тобто якщо F: C → D є цілком унівалентним і , то (в цьому випадку говорять, що функтор F відображає ізоморфізми). Для будь-якого унівалентного функтора , якщо є епіморфізмом (мономорфізмом), то теж є епіморфізмом (мономорфізмом).
Дійсно якщо — морфізми для яких , то з означення функтора випливає, що Оскільки є епіморфізмом то . Оскільки є унівалентним, то Твердження для мономорфізмів доводиться аналогічно.
Приклади
Функтор U: Grp → Set, що переводить кожну групу у відповідну множину без групової структури є унівалентним, оскільки гомоморфізм груп однозначно визначається функцією на множинах-носіях. Категорія з унівалентним функтором у Set називається конкретною категорією. Функтор, який вкладає Ab в Grp є цілком унівалентним.
Див. Також
Повна категорія
Література